Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.2 Mappe di Fredholm di indice zero proprie e limitate 27
Siccome V a ⊂ Vx per qualche x ∈ M, essendo V ′ ⊂ U ′ e quindi Vx ⊂ Ux, si ha che per ogni i in
{1, . . . , k}, x(bi), y ∈ Ux × Ux, (2.2.13)
e quindi (cfr. 2.2.3), per ogni i ∈ {1, . . . , k}, G −1 è definita su (x(bi), y) e la (2.2.10) definisce
correttamente la nostra mappa f. Chiaramente f definita dalla (2.2.10) è di classe C ∞ .
Verifichiamo che f è Fredholm di indice zero. Nella carta V ′ corrispondente a Vx, il differenziale
di f nel punto y ′ di V ′ è (cfr. eq. (2.2.4))
dfy ′ =
k
µbi (y′ ) d h x ′ (bi), ·
y ′ +
π2 ◦ g ◦ G −1 x ′ (b), y ′ d(µb)y ′[ · ]. (2.2.14)
i=1
b
Il primo termine è in Φ0(H) perché (∀i ∈ {1, . . . , k}) (x ′ (bi), y ′ ) ∈ V ′ ×V ′ , dunque per la (2.2.7)
k
µbi(y ′ ) d h x ′ (bi), ·
y ′ =
i=1
Il secondo termine
k
i=1
w ∈ H ↦−→
b
µbi(y ′ ) ∂h
∂v ′ (x′ (bi), y ′ ) ∈ conv ∂h/∂v ′ (V ′ × V ′ ) ⊂ Φ0(H).
π2 ◦ g ◦ G −1 x ′ (b), y ′ d(µb)y ′[w] ∈ R
è un operatore di rango finito. Quindi dfy ′ è un operatore lineare Fredholm di indice zero. Segue
che f è una C∞-Φ0-mappa. Osservazione 2.25. La formula 2.2.10 che definisce la mappa f congiuntamente con l’equazione 2.2.13
suggeriscono che, a meno di scegliere banalizzazioni locali per T M in un intorno della sezione nulla
con carte banalizzanti sufficientemente piccole (si osservi che la mappa G applica la sezione nulla
di T M nella diagonale ∆ ⊂ M × M, inoltre essa assume i propri valori in un intorno di ∆), nella
dimostrazione appena conclusa si può fare a meno di invocare il teorema di Kuiper e quindi della
mappa di banalizzazione globale g : T M → M × H.
Dunque, in particolare, con questa osservazione la dimostrazione del teorema 2.24 che abbiamo
presentato ben si adatta anche al caso in cui la varietà sia modellata su uno spazio di Banach reale di
dimensione infinita, dotato di una base di Schauder e di partizioni dell’unità di classe C ∞ (si ricordi
che per gli spazi di Banach non c’è un analogo del teorema di Kuiper). Nella generalità Banach,
in particolare, anziché fissare una struttura Riemanniana all’inizio della dimostrazione avremmo
avuto cura di considerare uno spray, la cui esistenza (cfr. teorema F.8) è garantita dall’esistenza di
partizioni dell’unità sulla varietà.
Osservazione 2.26. Come caso particolare del corollario G.7, si ha che, per ogni x in M, l’immagine
dfx(TxM) di TxM mediante dfx è un sottospazio chiuso di T f(x)H = H.
Ogni mappa di Fredholm è localmente propria, come provato nel teorema E.10. Mostreremo
adesso come ottenere a partire da una mappa di Fredholm di indice zero una mappa propria
Fredholm di indice zero.
Lemma 2.27. Sia M uno spazio metrico, H uno spazio di Hilbert, ed f : M → H una applicazione
continua propria. Se k : M → H è una mappa continua tale che la chiusura di k(M) in H è un
sottoinsieme compatto ( 2 ) allora f + k : M → H è una mappa propria.
Dimostrazione. Sia K ⊂ H un compatto. Si deve provare che, posta g := f + k, g −1 (K) ⊂ M è un
insieme compatto. Per questo scopo osserviamo che
g −1 (K) ⊂ f −1 K − k(M) , (2.2.15)
2 Una mappa con questa proprietà è chiaramente una mappa compatta, infatti (∀B ⊂ M) k(B) ⊂ k(M): ora k(B)
è un chiuso, k(M) è compatto per ipotesi, dunque k(B) è un compatto perché chiuso in un compatto. In particolare
questo può essere ripetuto quando B è limitato.
RAUL TOZZI