Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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98 Intorni tubolari Osservazione D.28. In particolare, nelle ipotesi e nelle notazioni della sezione 2.3, in virtù del teorema 2.38 di Mukherjea-Quinn sono soddisfatte le ipotesi di applicabilità della costruzione 2, grazie alla quale è possibile dotare ciascuna delle sottovarietà Mn di una metrica Riemanniana gn cosicché (Mn, gn)n≥0 è una successione di sottovarietà Riemanniane di ( M∞, g), dove M = M∞ è il completamento metrico di M∞ e g è una metrica Riemanniana completa su M che induce gn su Mn per ogni n in N. Inoltre, sempre in accordo con quanto osservato nella costruzione 2, per ogni n in N, Mn è una sottovarietà totalmente geodetica di (Mn+1, gn+1). IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
Appendice E Mappe di Fredholm: teoria non lineare Definizione E.1 (Smale, 1964). Se M ed N sono varietà di Banach, una mappa f : M → N di classe C 1 è detta di Fredholm se per ogni p ∈ M, dfp : TpM → T f(p)N è Fredholm lineare. Osservazione E.2. Se M è connessa, allora ind dfp è indipendente da p (cfr. [Sm 65]) ed è possibile definire l’indice di Fredholm di f ponendo ind f := ind dfp = dim ker dfp − dim coker dfp. (E.0.1) Specificatamente, f : M → N è una mappa Fredholm di indice zero (in breve, f è una Φ0mappa) se per ogni p ∈ M il differenziale dfp : TpM → T f(p)N è Fredholm lineare di indice zero, i.e., (cfr. osservazione B.1) dim ker dfp = dim coker dfp < ∞, ove, si ricordi, coker dfp : def = Tf(p)N/rk dfp. Nel seguito proveremo che le mappe di Fredholm sono localmente proprie, cfr. teorema E.10. Ricordiamo intanto alcuni fatti riguardanti le mappe proprie, utili per la parte centrale della tesi. Per una trattazione esauriente si faccia riferimento a [Bou3 89], Capitolo 1, Sezione 10. Definizione E.3. Una applicazione continua tra spazi topologici X e Y , f : X → Y , è detta propria se, per ogni sottoinsieme compatto K ⊂ Y , l’immagine inversa f −1 (K) è un sottoinsieme compatto di X. Equivalentemente, una mappa continua f : X → Y è propria se, data comunque una successione (xn) di punti di X che abbandona i compatti di X, (f(xn)) abbandona i compatti di Y (diremo che una successione (xn) di punti di uno spazio topologico X abbandona i compatti di X se, per ogni sottoinsieme compatto K ⊂ X, solo un numero finito di punti di {xn} appartiene a K). Definizione E.4. Una mappa f : X → Y è detta aperta (rispettivamente chiusa) se l’immagine di ciascun insieme aperto (risp. chiuso) in X è aperto (risp. chiuso) in Y . Osservazione E.5. Chiaramente, ogni applicazione continua da uno spazio topologico compatto a valori in uno spazio di Hausdorff è propria e chiusa. Osservazione E.6. Siano X uno spazio topologico di Hausdorff e (xh) una successione convergente a x in X. Allora l’insieme {xh}h∈N ∪ {x} è compatto. Proposizione E.7. Siano X e Y spazi metrici. Se f : X → Y è una applicazione continua propria allora f è chiusa. 99
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Università degli Studi di Pisa Fac
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Notazioni Notazioni di uso corrente
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Capitolo 2 Embedding aperti di vari
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2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
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2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
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2.3 Filtrazioni di Fredholm 33 Nell
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