Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

114 Analisi funzionale lineare
Siano E, G spazi di Banach e ϕ in L(E, G). Allora chiaramente l’immagine ϕ(E) di E mediante
ϕ è un sottospazio di G, non necessariamente chiuso. Sia F il nucleo di ϕ. Dunque abbiamo l’usuale
mappa lineare E/F → G indotta da ϕ, specificatamente, la mappa definita da
x + F ↦→ ϕ(x) = ϕ(x + F ).
Si tratta di una mappa continua, infatti esiste una costante C > 0 tale che per ogni x in E risulta
|ϕ(x)| ≤ C |x + F |.
Siccome ϕ(x) = ϕ(x + y) per ogni y in F , segue che
(∀ y ∈ F ) |ϕ(x + y)| ≤ C |x + F |,
da cui la continuità di E/F → G. Dunque, per il corollario G.2, se ϕ è surgettiva allora la mappa
E/F → G è un isomorfismo toplineare.
Sia E uno spazio vettoriale ed F un sottospazio. La codimensione di F in E è, per definizione,
la dimensione di E/F .
Corollario G.5. Sia E uno spazio di Banach ed F un sottospazio chiuso di dimensione o codimensione
finita. Allora F ammette un sottospazio complementare chiuso.
Dimostrazione. Se F ha dimensione finita, il corollario è una conseguenza ovvia del teorema di
Hahn-Banach. Assumiamo dunque che F abbia codimensione finita, e sia {y1, . . . , yn} una base di
E/F . Siano x1, . . . , xn gli elementi di E applicati in y1, . . . , yn rispettivamente dall’applicazione
naturale E → E/F . Indicato con G il sottospazio generato da x1, . . . , xn, G è di dimensione finita,
dunque è chiuso, e F ∩ G = {0} mentre F + G = E. Possiamo quindi applicare il corollario G.3 e
concludere la prova anche in questo caso.
Proposizione G.6. Se F è un sottospazio chiuso di E di codimensione finita e G è un sottospazio
di E tale che F ⊂ G ⊂ E, allora G è chiuso.
Dimostrazione. L’immagine di G nello spazio quoziente E/F è contenuta in uno spazio vettoriale
di dimensione finita, dunque è chiusa. Ne discende che G è esso stesso un sottospazio chiuso.
Corollario G.7. Siano E, G spazi di Banach. Sia ϕ in L(E, G) tale che l’immagine ϕ(E) ⊂ G
sia di codimensione finita. Allora ϕ(E) è chiusa.
Dimostrazione. Come nel corollario G.5, possiamo trovare un sottospazio di dimensione finita F di
G tale che G = ϕ(E) + F . Sicuramente quest’ultima è una somma diretta algebrica, non ancora
topologica. Fattorizzando il nucleo di ϕ, possiamo assumere senza ledere la generalità che ϕ sia
iniettivo. Componiamo ϕ con la mappa naturale G → G/F . Allora la composizione
E ϕ
−→ G ψ
−→ G/F
è una mappa lineare bigettiva e continua di E su G/F , quindi è un isomorfismo toplineare in virtù
del corollario G.2. Segue che la mappa inversa (ψ ◦ ϕ) −1 è continua, dunque è continua la mappa
ϕ ◦ (ψ ◦ ϕ) −1
che applica G/F su ϕ(E). Quindi ϕ(E) è toplinear isomorfo a G/F . Poiché G/F è completo, segue
che ϕ(E) è completo, e quindi ϕ(E) è chiuso in G, come volevasi dimostrare.
Definizione G.8. Sia X uno spazio normato. Diremo che una successione (xn) di X converge
debolmente a x in X se ∀ φ ∈ X ∗
φ(xn) → φ(x).
In tal caso scriveremo xn ⇀ x.
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