Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

64 Propedeuticità topologiche
Esempio A.16. Uno spazio di Banach dotato di una base di Schauder è separabile.
Proposizione A.17. Ogni spazio metrico separabile è a base numerabile.
Dimostrazione. Sia X uno spazio metrico separabile, scegliamo un sottoinsieme E ⊂ X denso e
numerabile. È sufficiente dimostrare che la famiglia numerabile di palle aperte
B = B(e, 2 −n ) : e ∈ E, n ∈ N
è una base della topologia. Sia U un aperto di X e x∈U. Sia n ∈ N un intero tale che B(x, 2 1−n )⊂U.
Poiché E è denso esiste e ∈ E ∩ B(x, 2 −n ). Per simmetria x ∈ B(e, 2 −n ) e per la disuguaglianza
triangolare B(e, 2 −n ) ⊂ B(x, 2 1−n ) ⊂ U.
Osservazione A.18. Gli spazi metrici soddisfano il primo assioma di numerabilità. In generale uno
spazio metrico non soddisfa il secondo assioma di numerabilità (per esempio R con la topologia
discreta) a meno che non si supponga che esso sia separabile: è questo il caso degli spazi metrici
compatti. In ogni caso, gli spazi metrici separabili soddisfano entrambi gli assiomi di numerabilità.
Osservazione A.19. Se uno spazio topologico ha un sottoinsieme non numerabile discreto, non può
essere secondo numerabile.
Osservazione A.20 (Proprietà di Lindelöf). In uno spazio topologico a base numerabile, da ogni
ricoprimento aperto si può sempre estrarre un sottoricoprimento numerabile.
Esempio A.21. Sia C(R) lo spazio di Banach delle funzioni continue limitate su R con la norma
data dall’estremo superiore. Allora C(R) è primo numerabile ma non è secondo numerabile.
Per vedere questo definiamo per ogni numero reale x espresso in forma decimale una funzione
limitata continua fx il cui valore per n ∈ Z è l’n-esima cifra decimale dopo la virgola. Allora
|fx − fy |∞ è sempre maggiore o al più uguale a 1 per x = y, il che significa che {fx : x ∈ R} è un
sottospazio non numerabile discreto di C(R), e C(R) non può essere secondo numerabile.
Esempio A.22. Sia H uno spazio di Hilbert “inseparabile”, cioè uno spazio che non ha basi di
Hilbert numerabili. Una base di Hilbert {eλ}λ∈Λ avrà allora un insieme di indici non numerabile,
e poiché |eλ − eµ | = √ 2 per λ = µ, segue come sopra che H non soddisfa il secondo assioma, ma
poiché è uno spazio metrico soddisfa il primo.
Esempio A.23. Uno spazio di Hilbert di dimensione infinita con la topologia debole (la meno fine
per la quale i funzionali lineari, cioè le applicazioni 〈v, · 〉: H → R, v ∈ H sono continui) non è
primo numerabile.
Infine, enunciamo e dimostriamo una proposizione che può essere considerata una versione primitiva,
puramente topologica di alcune delle costruzioni specifiche e tecniche affrontate nel corpo della
tesi: le filtrazioni di Fredholm. Premettiamo un lemma e una osservazione:
Lemma A.24. Sia (X, τ) uno spazio topologico di Hausdorff. Sia U ∈ τ e V ⊂ U un sottoinsieme
tale che la chiusura di V in U sia compatta. Allora tale chiusura coincide con la chiusura di V in
X.
Osservazione A.25. Siano V, U ⊂ X aperti, con X spazio topologico di Hausdorff. In virtù del
lemma A.24, la scrittura V ⋐ U non è ambigua (cioè è indifferente che si usi la chiusura di V in U
o in X).
Proposizione A.26. Sia (X, τ) uno spazio topologico connesso, di Hausdorff, localmente compatto
e soddisfacente il secondo assioma di numerabilità. Esiste allora una successione Gi ∈ τ, i ∈ N,
tale che:
• Gi ⋐ X per ogni i;
• Gi ⊂ Gi+1;
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA