Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

D.6 Costruzione di una filtrazione totalmente geodetica 97
Induttivamente, supponendo di aver costruito con questo procedimento la metrica gn, costruiamo
gn+1 su Mn+1 sfruttando gn e le assegnate strutture su Mn+1 e Fn+1. Per ogni n in N, indicata
con ρn la metrica intrinseca su Mn associata a gn, per il lemma D.23 (Mn, ρn) è uno spazio metrico
completo. Inoltre, per la proposizione D.26, per ogni n Mn è una sottovarietà totalmente geodetica
di (Mn+1, gn+1). Si è dunque costruito un sistema
Mn, U(n), ιn, τ(n), π(n), gn, ρn n ,
in cui, per ogni n in N,
• gn e ρn sono definiti come sopra,
• ιn : Mn → Mn+1 è un embedding di classe C ∞ che realizza Xn come una sottovarietà chiusa
di Xn+1 con fibrato normale banale,
• U(n) è un intorno tubolare di ιn(Mn) in Mn+1, costruito per ogni n come l’intorno tubolare
U del diagramma (D.6.2),
• τ(n) := π Fn+1 ◦ ϕ −1
n è la proiezione di U(n) sullo spazio di Hilbert Fn+1,
• π(n) := ιn ◦ π Mn ◦ ϕ −1
n è la proiezione di U(n) su ιn(Mn),
come esemplificato dal seguente diagramma:
Mn × Fn+1
ϕn
π Mn
Mn ιn
ιn(Mn)
ιn
π(n)
ϕ
U(n)
−1
πMn
n
M
n × Fn+1
π
Fn+1
τ(n)
Fn+1 Mn
Osservazione D.27. Poiché ιn è un embedding di strutture Riemanniane, data comunque una curva
σ a valori in Mn, le lunghezze di σ secondo le metriche gn e gn+1 coincidono. D’altra parte, in
generale, due punti di Mn possono essere connessi da una curva in Mn+1 avente lunghezza minore
di ρn(x, y).
Costruzione 3. Nelle notazioni precedentemente introdotte, sia M∞ il limite induttivo della successione
(Mn, ιn) n. Poiché ιn è un embedding, dunque è un’applicazione iniettiva, per ogni n in N
possiamo riguardare ιn come l’applicazione di inclusione di Mn in Mn+1 e considerare Mn come un
sottoinsieme di M∞ =
n∈N Mn.
Dotiamo M∞ della topologia indotta dalla pseudometrica ρ definita come segue: se x, y
appartengono a M∞, poniamo
ρ(x, y) := lim
m→∞ ρm(x, y). (D.6.6)
Si noti che il limite D.6.6 esiste, infatti, se x, y ∈ M∞ sono fissati, allora esiste n in N tale che
x, y ∈ Mn. Inoltre Mn ⊂ Mm per ogni m ≥ n e per l’osservazione D.27 ρm+1(x, y) ≤ ρm(x, y).
Chiaramente, la funzione ρ definita in D.6.6 è una pseudometrica, i.e. soddisfa la disuguaglianza
triangolare. Con qualche accorgimento si può dimostrare che (M∞, ρ) è invero uno spazio metrico,
i.e. ρ(x, y) = 0 se e solo se x = y.
Infine, denotato con ( M∞, ˜ρ) il completamento di (M∞, ρ), si può costruire una metrica Riemanniana
completa g su M∞ tale che per ogni n in N, g induca la metrica gn su Mn e ˜ρ sia la
metrica intrinseca associata a g. Per i dettagli di questa costruzione si rimanda a [At-To 07].
RAUL TOZZI