Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

C.2 Fibrati vettoriali 75
FV 3. Per ogni coppia (α, β) di indici tale che Uα ∩ Uβ = ∅,
è un isomorfismo toplineare.
(∀ p ∈ Uα ∩ Uβ) χ βp ◦ χ −1
αp : E → E
FV 4. Per ogni coppia (α, β) di indici tale che Uα ∩ Uβ = ∅, l’applicazione
è di classe C ∞ .
p ∈ Uα ∩ Uβ ↦−→ χ β ◦ χ −1
α
p = χβp ◦ χ −1
αp ∈ GL(E)
L’insieme {(Uα, χα)}α∈Λ sarà detto un ricoprimento banalizzante per π (o per X, con abuso di
linguaggio), inoltre, per ogni α, χα : π −1 (Uα) → Uα × E sarà detta una banalizzazione locale di
X. Due ricoprimenti banalizzanti per π sono detti equivalenti se la loro unione soddisfa ancora le
proprietà FV 3 e FV 4. Una classe di equivalenza di tali ricoprimenti banalizzanti determina una
struttura di fibrato vettoriale su M. Diremo che X è lo spazio totale del fibrato, e che M è il suo
spazio base. Infine, diremo equivalentemente che il fibrato vettoriale ha fibra E o che è modellato
su E.
Osservazione C.31. Se p ∈ Uα allora la fibra vettoriale Xp sopra p può essere dotata di una struttura
di spazio di Banach, semplicemente trasportando la struttura di E attraverso χ αp (cfr. eq. C.2.1).
D’altra parte, se p ∈ Uβ e β = α, allora la condizione espressa da FV 3 assicura che le strutture su
Xp indotte dalla struttura di E via χ αp e χ βp sono equivalenti.
Uno spazio vettoriale metrico completo è detto Banachabile se la sua topologia è deducibile da
una norma. Per quanto si è appena osservato, riassumendo, dalla proprietà FV 2 e dalla proprietà
FV 3 segue che, per ogni p in M, la fibra Xp ha la struttura di spazio Banachabile.
Osservazione C.32. Per contro, la condizione FV 3 può essere sostituita da una condizione simile
come segue:
FV 3 ′ . Per ogni p ∈ M, la fibra π −1 (p) è dotata della struttura di spazio Banachabile; inoltre, per
ogni α
(∀ p ∈ Uα) χ αp : Xp → E
è un isomorfismo toplineare.
Segue che, per ogni coppia (α, β) di indici tale che Uα ∩ Uβ = ∅,
è un isomorfismo toplineare.
(∀ p ∈ Uα ∩ Uβ) χ βp ◦ χ −1
αp : E → E
Osservazione C.33. Si osservi che, nel caso finito dimensionale, la condizione FV 3 implica la
condizione FV 4.
Tornando alla definizione generale di fibrato vettoriale, per ogni coppia (α, β) di indici tale che
Uα ∩ Uβ = ∅, le restrizioni dei corrispondenti diffeomorfismi χ α e χ β a π −1 (Uα ∩ Uβ) ⊂ X inducono
un diffeomorfismo χ β ◦ χ −1
α tale che il seguente diagramma sia commutativo:
χβ ◦ χ
(Uα ∩ Uβ) × E
π1
−1
α
(Uα ∩ Uβ) × E
π1
Uα ∩ Uβ
Un tale diffeomorfismo è necessariamente della forma χ β ◦ χ −1
α (p, e) = p, gβα(p)e in cui
gβα : Uα ∩ Uβ → GL(E). (C.2.2)
RAUL TOZZI