Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

80 Geometria differenziale in dimensione infinita
In particolare, uno spazio vettoriale Hilbertabile E è autoduale, identificabile cioè con il suo
spazio duale. Precisamente, fissata una forma bilineare simmetrica, non singolare, continua 〈·, ··〉
di E × E in R,
(v, w) ∈ E × E ↦−→ 〈v, w〉 ∈ R,
∗ def
la corrispondente mappa di E nel duale topologico E = L(E) := L(E, R)
v ∈ E ↦−→ 〈·, v〉 ∈ L(E)
è un isomorfismo toplineare. Questo è essenzialmente il motivo per cui si predilige la maggiore
ricchezza di struttura propria degli spazi Hilbertabili. Se E è uno spazio di Hilbert, in particolare,
E è isometrico al suo duale topologico.
Sia E, 〈·, ··〉 uno spazio di Hilbert e denotiamo con L2 sim (E) lo spazio vettoriale delle forme
bilineari λ: E × E → R continue e simmetriche. Se x in E è fissato, allora la forma lineare
continua λx(y) := λ(x, y) è rappresentata da un elemento Ax di E, essendo A ∈ End(E). Evidentemente,
la simmetria della forma comporta la simmetria dell’operatore associato, per cui risulta
λ(x, y) = 〈Ax, y〉 = 〈x, Ay〉 per ogni x, y ∈ E. Viceversa, dato un operatore simmetrico A in
End(E), è definita in modo unico una forma bilineare in L2 sim (E) attraverso questa formula. Si
stabilisce così una corrispondenza tra L2 sim (E) e l’insieme degli endomorfismi toplineari simmetrici
di E. In particolare, L2 sim (E) è esso stesso uno spazio di Banach, la norma essendo l’usuale norma
operatoriale.
Definizione C.45. Il sottoinsieme di L2 sim (E) costituito dalle forme corrispondenti ad operatori
coercivi (per definizione, un operatore è coercivo se esiste ε > 0 tale che A ≥ εI) sarà detto il
Riemanniano di E ed indicato con Ri(E).
Le forme coercive sono gli elementi che appartengono specificatamente al sottoinsieme Ri(E) di
L2 sim (E). Osserviamo che se A è l’operatore associato ad una forma coerciva allora A è invertibile,
infatti 0 /∈ Spec(A) dunque t ↦→ 1/t è una funzione continua ed invertibile nello spettro.
Riguardiamo L2 sim come un funtore che agisce sulla categoria dei fibrati vettoriali le cui fibre
(π) → X il corrispondente fibrato la cui fibra
sono autoduali: sia π : E → X un tale fibrato e L2 sim
sopra il generico punto x di X sia L2 sim (Ex). Una forma bilineare simmetrica su π è, per definizione,
una sezione di L2 sim (π).
Definizione C.46. Se π è un fibrato di Hilbert e per ogni x in X l’immagine di una fissata sezione
di L 2 sim (π) → X appartiene allo spazio Riemanniano Ri(Ex) allora la sezione sarà detta una metrica
Riemanniana.
Denoteremo una generica metrica Riemanniana con g, e quindi, per ogni x ∈ X, indicheremo
con g(x) (o gx) la corrispondente forma bilineare simmetrica coerciva. Se v, w sono due vettori
in Ex, scriveremo anche 〈v, w〉x se la metrica g è fissata e dunque la notazione non darà luogo ad
ambiguità.
Definizione C.47. Una coppia (X, g) costituita da una varietà X modellata su uno spazio di
Hilbert e da una metrica Riemanniana g è detta una varietà Riemanniana.
Si osservi che, mentre l’insieme delle forme bilineari simmetriche su π, L2 sim (π) è uno spazio
vettoriale, l’insieme delle metriche Riemanniane Ri(π) è solo un cono convesso, i.e., se a, b ∈ R + e
g1, g2 ∈ Ri(π) allora ag1 + bg2 ∈ Ri(π).
Osservazione C.48. Più in generale, supponiamo che E sia uno spazio di Banach isomorfo al suo
spazio duale. In questa generalità, l’insieme delle forme bilineari simmetriche non singolari costituisce
un aperto di L2 sim (E): denoteremo questo sottoinsieme con Met(E) e ci riferiremo ad esso
come all’insieme delle metriche pseudo-Riemanniane. Una metrica pseudo-Riemanniana su π è una
forma bilineare simmetrica su π tale che l’immagine di ogni punto x in X è un elemento di Met(Ex).
Denoteremo l’insieme delle metriche pseudo-Riemanniane su π con Met(π).
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