Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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50 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita da cui, essendo per definizione Dn = T −1 n (Zn) ∩ Mn × 1 2r | H Mn n segue che Dn ⊂ Dn. Lemma 2.68. La mappa ℓn : Dn → Dn+1 definita da ℓn := T −1 n+1 ◦ Tn è un embedding layer aperto della forma ℓn : (x, u) ↦−→ λn(x, u), π n+1 (u) (2.6.4) Dimostrazione. Per ogni n, la mappa Tn è definita dal prodotto di composizione exp ◦Sn, in cui Sn è la mappa definita nel lemma 2.46. La forma (2.6.4) dell’applicazione ℓn segue quindi dalla particolare espressione della mappa esponenziale nelle carte di un atlante layer forte per la varietà (cfr. teorema 2.45) e dal punto (3) del lemma 2.46. Più in dettaglio, siano (x, u) in Dn e (y, v) in Dn+1 tali che Tn(x, u) = Tn+1(y, v). Allora v = π n+1 (u), infatti, come indicato dal lemma 2.46, esiste una carta layer forte (ϕj, Wj) con Tn(x, u) ∈ Wj tale che (i) π n+1 ◦ ϕj ◦ Tn(x, u) = π n+1 (u), e (ii) π n+1 ◦ ϕj ◦ Tn+1(y, v) = v. Il seguente diagramma riassume gli oggetti che abbiamo introdotto fino a questo punto e le relazioni intercorrenti tra di essi. Si osservi che tutti i diagrammi da esso deducibili sono commutativi. ℓn = T −1 n+1 ◦ Tn Dn Dn+1 ⊃ ⊃ ∩ Dn Yn × H n Yn+1 × H n+1 ∪ Dn+1 Tn Sn exp Sn(Dn) Sn Sn+1 Consideriamo la mappa jn : Dn → Mn+1 × H n+1 definita da ∩ T Yn ∩ T Yn+1 ∪ Sn+1(Dn+1) Sn+1 exp Tn+1 Zn ∩ Zn+1 (2.6.5) jn : (x, u) ↦−→ jn(x, u) : def = λn x, πn+1(u) , π n+1 (u) . (2.6.6) Innanzitutto osserviamo che si tratta di una applicazione ben definita, infatti πn+1(u) ≤ |u|, quindi, se (x, u) appartiene all’insieme di definizione di λn, Dn, allora anche x, πn+1(u) appartiene a Dn, e (2.6.6) è una buona definizione. Inoltre, in virtù della proposizione 2.69 (vedi oltre) jn è una applicazione iniettiva e quindi, per il lemma 2.68, jn è un embedding sul sottoinsieme aperto Gn+1 := jn( Dn) ⊂ Un+1 × Hn+1 . Infine, j−1 n : Gn+1 −→ Dn si estende in modo naturale ad IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
2.6 Raffinamento delle tecniche layer 51 una mappa (denotata ancora con j−1 n ) da Un+1 × Hn+1 a Mn × Hn (infatti, siccome a meno di una proiezione jn è T −1 n+1 ◦ Tn, e siccome Tn è un diffeomorfismo su un intorno aperto (standard) della sezione nulla, esiste un aperto la cui immagine omeomorfa tramite jn sia Un+1 × Hn+1 , i.e., Un+1 × Hn+1 è incluso nell’immagine iniettiva mediante jn di un certo aperto): j −1 n : Un+1 × H n+1 −→ Mn × H n . Proposizione 2.69. L’applicazione jn definita in (2.6.6) è iniettiva. Dimostrazione. Siano (x, u1) = (x, u2) tali che πn+1u1 = πn+1u2. Dunque π n+1 u1 = π n+1 u2 e quindi jn(x, u1) = jn(x, u2). D’altra parte se πn+1u1 = πn+1u2 allora anche in questo caso jn(x, u1) = jn(x, u2), infatti, poiché ℓn è iniettiva, posti ū1 := πn+1u1 e ū2 := πn+1u2, se fosse λn(x, ū1) = λn(x, ū2) allora dovrebbe essere π n+1 ū1 = π n+1 ū2, ma ciò non è possibile essendo π n+1 ū1 = π n+1 πn+1u1 = 0 = π n+1 πn+1u2 = π n+1 ū2. Dunque λn(x, πn+1u1) = λn(x, πn+1u2) e quindi jn(x, u1) = jn(x, u2). Analogamente si argomenta se (x, u1) = (y, u2) in cui x = y e u1 = u2. Infine, se x = y allora anche in quest’ultimo caso jn(x, u) = jn(y, u), infatti, posto come prima ū = πn+1u, poiché ℓn è iniettiva risulta ℓn(x, ū) = ℓn(y, ū), da cui segue λn(x, ū) = λn(y, ū) sse λn(x, πn+1u) = λn(y, πn+1u) e quindi jn(x, u) = jn(y, u). Nel seguito sarà utile anche il seguente lemma (per la definizione di isotopia di embedding si rimanda alla sezione D.5, definizione D.11): Lemma 2.70. Sia Y una varietà compatta con bordo (ivi compreso il caso in cui ∂Y = ∅) e Z0 una sottovarietà aperta di una varietà Z. Sia B uno spazio di Banach ed f : R × Z → R × (Y × B) una isotopia di embedding con dominio proprio I = [0, 1] della forma f(t, z) = t, a(t, z), b(z) , tale che f I × Z0 sia contenuto in R × Int(Y ) × B e sia chiuso in R × Y × B. Allora esiste una isotopia di embedding F : R × (Y × B) → R × (Y × B) con dominio proprio I della forma F (t, y, b) = t, A(t, y, b), b , tale che (i) F (0, y, b) = (0, y, b) per ogni (y, b) ∈ Y × B; (ii) F 1, f0(z) = F 1, a(0, z), b(z) = 1, a(1, z), b(z) F 1, a(0, z), b(z) = 1, a(1, z), b(z) F 1, a(0, z), b(z) = 1, a(1, z), b(z) = 1, f1(z) = f(1, z) per ogni z ∈ Z0; (iii) F (t, y, b) = (t, y, b) in un intorno di R × ∂Y × B. Dimostrazione. La tecnica con cui si dimostra questo tipo di enunciati è sempre la stessa: si determina una isotopia che soddisfa le proprietà richieste per integrazione di un campo vettoriale opportuno. Poi si modifica se necessario la soluzione ottenuta per mezzo di funzioni cut-off o funzioni a campana. Lo schema dimostrativo segue la falsa riga della dimostrazione del lemma di Thom, come indicato nel testo di Hirsch [Hir 94], Capitolo 8 oppure in [Th 57]. Per una dimostrazione dettagliata si faccia comunque riferimento a [El 72]. Notazioni. Denotiamo con U 0 n, λ 0 n, ℓ 0 n, j 0 n, D 0 n gli oggetti corrispondenti a Un, λn, ℓn, jn, Dn, utilizzando Z 0 n anziché Z n (si ricordi che le notazioni Zn, Z 0 n sono state introdotte nel teorema 2.65). Lemma 2.71. Esiste una isotopia con dominio proprio I Jn+1 : R × Mn+1 × H n+1 → R × Mn+1 × H n+1 della forma Jn+1(t, x, v) = t, gt(x, v), v , tale che (i) Jn+1,0 = id, (ii) Jn+1,1|ℓn( D 0 n) RAUL TOZZI
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