Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

90 Intorni tubolari
Allora esiste una isotopia ft : X → X1 con dominio proprio [0, 1] tale che f1 = f e f0 : X → X1 è
un isomorfismo di fibrati vettoriali. (Se f, π, π1 sono di classe C p (2 ≤ p ≤ ∞), allora l’isotopia ft
può essere scelta di classe C p−1 .)
Dimostrazione. Definiamo per ogni t = 0 e per ogni e in X,
Ft(e) := t −1 f(te).
Chiaramente Ft è un embedding in quanto composizione di embedding (le moltiplicazioni per gli
scalari t e t −1 sono isomorfismi di fibrati vettoriali). Dobbiamo studiare che cosa accade per t = 0.
Dato e ∈ X, sia U1 un intorno aperto di πe sul quale X1 sia banalizzato come U1 × E1.
Determiniamo quindi un intorno aperto U ⊂ U1 di πe ed una palla aperta B ⊂ E con centro in O,
tale che, su U, X sia isomorfo a U ×E, e tale che la rappresentazione locale ¯ f di f su U ×B ⊂ U ×E
applichi U × B in U1 × E1. Ciò è possibile per la proprietà di continuità di f. Su U × B, ¯ f è della
forma
¯f(x, v) = ϕ(x, v), ψ(x, v) ,
in cui ϕ e ψ sono due morfismi opportuni tali che ϕ(x, 0) = x e ψ(x, 0) = 0. Si osservi che, nella
rappresentazione locale di X, se t è sufficientemente piccolo allora te è contenuto in U × B.
Su U × B, la rappresentazione locale di Ft è
F t(x, v) = ϕ(x, tv), t −1 ψ(x, tv) . (D.5.2)
La mappa ϕ è quindi un morfismo nelle tre variabili x, v, e t, anche quando t = 0. D’altra parte, la
seconda componente di F t può essere scritta come
t −1 ψ(x, tv) = t −1
1
=
1
0
0
D2 ψ(x, stv) · (tv) ds
D2 ψ(x, stv) · v ds.
(D.5.3)
Si conclude che (D.5.3) è un morfismo in t, per ogni t in R. Per t = 0, essendo ϕ(x, 0) = x, in virtù
di (D.5.3), (D.5.2) è della forma
F 0(x, v) = x, D2 ψ(x, 0)v .
Siccome per ipotesi f è un embedding, segue che D2ψ(x, 0) è un isomorfismo toplineare, e perciò
F0 è un isomorfismo di fibrati vettoriali. Per ottenere una isotopia con dominio proprio [0, 1],
ricordando l’osservazione D.13 possiamo comporre con una funzione monotona crescente σ : R → R
tale che σ(t) = 0 per t ≤ 0 e σ(t) = 1 per t ≥ 1.
Teorema D.17 (Unicità dell’intorno tubolare). Sia N una sottovarietà di una varietà M.
Siano
π : X → N e π1 : X1 → N
due fibrati vettoriali e assumiamo che X sia comprimibile (cfr. definizione D.2). Siano f : X → M
e g : X1 → M due intorni tubolari di N in M. Allora esiste una isotopia di intorni tubolari
ft : X → M
con dominio proprio I = [0, 1] e un isomorfismo di fibrati vettoriali λ: X → X1 tale che f1 = f e
f0 = gλ.
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA