Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.5 Filtrazioni di Fredholm augmentate 43
Dimostrazione. Indicati con E ed F i sottospazi chiusi Mn × {0} e Mn di Mn × H n ed M
rispettivamente, consideriamo l’applicazione Tn : Mn × H n → M. Chiaramente
Tn| Mn×{0} : Mn × {0} → Mn
è un omeomorfismo, infatti, per ogni x ∈ Mn si ha che Tn(x, 0) = x. Affinché si possa invocare
il teorema 2.53 di estensione degli omeomorfismi occorre verificare la proprietà EO (i): per ogni
(x0, 0) in Mn×{0}, la restrizione di Tn a un intorno U (x0,0) ⊂ Mn×H n di (x0, 0) è un omeomorfismo
con l’immagine e l’immagine Tn(U (x0,0)) ⊂ M è aperta in M. Proviamo dunque che
EO (i ′ ) Tn è un diffeomorfismo locale in ogni punto (x0, O) di Mn × {O}.
Quest’ultima proprietà è una conseguenza immediata dell’espressione di Tn in una carta locale
definita in un intorno di (x0, 0) in Hn × H n a valori in H = Hn × H n (cfr. teorema 2.45):
(x, v) ↦→ x + v + α(x, v). (2.5.4)
Il differenziale della mappa 2.5.4 nel punto (x0, O) è l’applicazione identica, infatti dα (x0,O) = 0.
Dunque, in carte locali, il differenziale di Tn in ogni punto (x0, O) di Mn × {O} è id: H → H,
quindi è invertibile e per il teorema della mappa inversa segue che Tn è un diffeomorfismo locale in
(x0, O) e anche la proprietà EO (i ′ ) e quindi la EO (i) è verificata.
Sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema 2.53, dunque esistono intorni aperti U ⊂ Mn × H n
e V ⊂ M di Mn × {0} e Mn rispettivamente tali che Tn|U : U → V è un diffeomorfismo.
Definizione 2.59 (Intorno standard). Chiameremo intorno standard di Mn in M un intorno
aperto Dn della sezione nulla di Mn ×H n tale che Tn induca un diffeomorfismo di Dn con un intorno
aperto di Mn in M ( 14 ). In simboli
∼ =
Tn|Dn : Dn −→ Tn(Dn) ζ(H n ) ⊂ Dn Dn
Dn ⊂ Mn × H n , Mn ⊂ Tn(Dn)
Tn(Dn) ⊂ M aperti.
L’intorno standard sarà detto di raggio r se Dn = Mn × rH n , ove r : Mn → R + è una funzione
continua, in cui, si ricordi, Mn × rH n denota l’insieme {(x, v) ∈ Mn × H n : |v | < r(x)}.
Osservazione 2.60. Gli intorni {Mn × ρH n }ρ ottenuti facendo variare ρ nello spazio delle funzioni
continue Mn → R + , costituiscono un sistema fondamentale di intorni di Mn × {0} in Mn × H n .
Proposizione 2.61. Per ogni n ∈ N, esiste una funzione continua rn : Mn → R + e un intorno
standard di Mn in M di raggio rn.
Dimostrazione. Fissato n ∈ N, un intorno standard di Mn in M di raggio ρ è un intorno aperto di
Mn in M diffeomorfo a un intorno aperto Mn × ρHn della sezione nulla di Mn × Hn .
La proposizione 2.58 fornisce intorni aperti U ⊂ Mn ×H n e V ⊂ M rispettivamente di Mn ×{0}
e Mn tali che Tn|U : U → V sia un diffeomorfismo.
Inoltre, in virtù dell’osservazione 2.60, esiste una funzione continua ρ: Mn → R + in corrispondenza
della quale Mn × ρHn ⊂ U. Segue che
Tn|Mn×ρHn : Mn × ρHn
⊂ U
Tn Mn × ρHn ⊂ V.
Chiaramente Tn Mn × ρHn
⊃ Mn, infatti Tn Mn × ρHn
⊃ Tn Mn × {0} = Mn.
Infine, poiché dalla proprietà (i) del teorema di estensione degli omeomorfismi segue in particolare
che Tn è una mappa aperta su un opportuno intorno di Mn × {0} in Mn × Hn , a meno di
scegliere ρ più piccola se necessario, si può supporre che
Mn × ρH n ⊂ M
Tn
sia un aperto. Posto rn := ρ, Dn := Mn × rnH n è un intorno standard di Mn come richiesto.
14 Si ricordi che Tn è definito su un intorno della sezione nulla di Yn × H n (cfr. definizione 2.57) e che inoltre
Dn ⊂ Mn × H n ⊂ Yn × H n , dunque è possibile considerare la restrizione di Tn a Dn.
RAUL TOZZI