Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

S 1 , che certamente non ammette un embedding aperto in R. Analizzando l’articolo originale di
Bessaga si sono poi fornite alcune estensioni al caso delle varietà di Banach. Completano il capitolo
una versione del teorema di Whitney in dimensione infinita, una digressione sui limiti induttivi di
varietà, e la costruzione di una retrazione forte dalla palla unitaria chiusa sulla sfera unitaria di
uno spazio di Hilbert separabile di dimensione infinita.
Il capitolo 2, come promesso, è interamente dedicato alla dimostrazione del teorema di embedding
aperto, secondo cui, ricordiamo, ogni varietà modellata su uno spazio di Hilbert reale,
separabile, di dimensione infinita H, può essere realizzata con un embedding di classe C ∞ come
un sottoinsieme aperto del modello. In particolare, in virtù di questo teorema sarà possibile dotare
ogni siffatta varietà della metrica piatta.
La dimostrazione del teorema di embedding aperto può essere suddivisa in due parti:
(1) Processo di riduzione al caso finito dimensionale via strutture di Fredholm e strutture layer.
Sia H uno spazio di Hilbert reale, separabile, di dimensione infinita. Indicata con (ei)i∈N una
base Hilbertiana per H, sia Hn il sottospazio di H di dimensione n generato da e1, . . . , en. Se
M è una varietà paracompatta, separabile, di Hausdorff, modellata su H, determineremo una
applicazione di classe C ∞ , f : M → H, Fredholm di indice zero, propria, limitata (teorema 2.33)
e trasversa ad Hn per ogni n in N (corollario 2.34). In particolare, per ogni n, risulterà che
Mn := f −1 (Hn) è una sottovarietà compatta di dimensione n di M (teoremi 2.38 e 2.40) e
{O} = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn ⊂ Mn+1 ⊂ · · · ⊂ M.
Inoltre, l’unione
n∈N Mn è densa in M (teorema 2.38). Determineremo quindi uno spray
su M relativamente al quale tutte le sottovarietà Mn sono totalmente geodetiche e la mappa
esponenziale ad esso associata nelle carte layer di M è un morfismo layer (teorema 2.45).
Infine, come indicato nel teorema 2.65, costruiremo una successione (Zn)n∈N di insiemi aperti
di M tali che, per ogni n in N, Zn è un intorno tubolare di Mn di dimensione finita,
Zn ⊂ Zn+1 e M =
Zn.
Per dimostrare quest’ultimo risultato ci serviremo di un interessante teorema che chiameremo di
“estensione degli omeomorfismi”; esso fornisce inoltre un modo nuovo di riguardare il teorema
dell’intorno tubolare, almeno nella categoria topologica.
(2) Raffinamento delle tecniche layer introdotte e determinazione di un embedding aperto.
Immergeremo con un embedding ogni intorno tubolare Zn nel modello H, e definiremo per
induzione una successione (ξn)n∈N di embedding aperti ξn : Zn → H (cfr. proposizione 2.75).
L’embedding aperto cercato sarà quindi ξ := lim ξn. Precisamente, per ogni n, estenderemo
ξn ad un embedding aperto ξn+1 che coincida con ξn su Zn. Il problema dell’estensione di ξn
a ξn+1 è un problema in dimensione finita e sarà trattato in ultima analisi per mezzo di un
teorema di estensione dell’intorno tubolare (teorema D.19). Le questioni tecniche riguardanti
le immersione degli intorni tubolari Zn saranno trattate con gli strumenti forniti dalla teoria
dell’isotopia (lemmi 2.70 e 2.71).
L’esposizione sarà corredata di numerose osservazioni finalizzate all’estensione del teorema di embedding
aperto nella generalità delle varietà di Banach.
Allo scopo di rendere la trattazione il più possibile autocontenuta –la tesi è stata scritta
con l’intenzione di poter essere letta con il solo ausilio dei testi di Abraham-Robbin [Ab-Ro 67],
Dieudonné [Di 69], Dugundji [Du 66], Hirsch [Hir 94] e Lang [Lan 01]– per comodità del lettore sono
presentate delle appendici. Esse coprono vari argomenti tra i quali la teoria lineare e non-lineare
degli operatori di Fredholm, alcuni teoremi di isotopia strettamente necessari per le costruzioni di
RAUL TOZZI
n∈N
vii