Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

More documents

Recommendations

Info

56 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita Si consideri la mappa d1 ◦ gn ◦ j −1 n | V ×{0} : V × {0} ⊂ Un+1 × H n+1 → HN × H N (2.7.3) e si osservi che la sua immagine è invero contenuta in HN × {0}. Infatti, indicato con x il generico elemento di V , posto allora (y, v) := j −1 n (x, 0) ∈ Mn × H n jn(y, v) = λn(y, πn+1(v)), π n+1 (v) = (x, 0) e quindi in particolare π n+1 (v) = 0, equivalentemente v ∈ Hn+1. Dunque v ∈ H n ∩ Hn+1, i.e., v ∈ 〈en+1〉, in particolare (si ricordi che N ≫ n + 1) π N (v) = 0. Segue che, nelle notazioni precedentemente introdotte, d1 ◦ gn ◦ j −1 n (x, 0) = d1 ◦ gn(y, v) = γn y, πN(v) , π N (v) ∈ HN × {0}. Per concludere la prova del passo induttivo e quindi la dimostrazione della proposizione 2.75 il seguente lemma di cui abbiamo già accennato giuoca un ruolo di centrale importanza: Lemma 2.76. Il differenziale d(gn ◦ j −1 n )| T (Un+1×H n+1 )Un+1 ×{0} : (x, w, v) ∈ T Un+1 × H n+1 ↦→ d(gn ◦ j −1 n ) (x,0)(w, v) ∈ H (2.7.4) si estende ad un isomorfismo layer-forte T Mn+1 × H n+1 −→ Mn+1 × H layer-forte-isotopo a τn+1 : T Mn+1 × H n+1 → Mn+1 × H. Dimostrazione del lemma 2.76. Mediante l’identificazione operata da jn, scriviamo il generico elemento di Un+1 come (x, s) ∈ Mn × 〈en+1〉. Ciò è possibile, infatti, come si è osservato precedentemente, j −1 n | Un+1×{0} : (y, 0) ∈ Un+1 × {0} ∼ = −→ j −1 n (y, 0) = (x, s) ∈ Mn × (H n ∩ Hn+1) = Mn × 〈en+1〉. Se (x, s) ∈ Un+1 e v ∈ H n+1 , allora gn ◦ j −1 n (x, s, v) = gn(x, s + v), (2.7.5) infatti jn(x, s + v) = λn(x, πn+1(s + v) , πn+1 (s + v) = λn(x, s), v = (x, s, v), in cui l’ultima uguaglianza è dovuta al fatto che si è identificato Un+1 × {0} con la sua immagine mediante j−1 n . Se scriviamo T Un+1 = T Mn ⊕ 1r 2 |Mn en+1 × R (Un+1 = Tn Mn × 1 2r | en+1 ∼= Mn × Mn 1 2r | en+1), il nostro differenziale 2.7.4 diventa la mappa Mn T Mn ⊕ 1r 2 |Mn en+1 × R × H n+1 −→ Mn × 1 2r | en+1 × H Mn data da (x, w, s, u, v) ↦→ x, s, d(gn ◦ j −1 n ) (x,s,0)(w, u, v) , in cui w ∈ TxMn. Scritto in questa forma si vede subito che 2.7.4 è isotopo all’isomorfismo di fibrati definito da (x, w, s, u, v) ↦−→ x, s, d(gn ◦ j −1 n ) (x,0,0)(w, u, v) (2.7.5) = x, s, [d(gn) (x,0)](w, u + v) . (2.7.6) Per l’ipotesi induttiva su βn,t, βn,0 ◦ (2.7.6) = (2.7.6) è (fortemente-layer) isotopo a βn,1 ◦ (2.7.6). Inoltre, ancora per l’ipotesi induttiva (c) βn,1 ◦ (2.7.6) = τn, per cui, in definitiva, si ha che (2.7.6) è isotopo a (x, w, s, u, v) ↦−→ s, τn(x, w, u + v) = x, s, τ d(in)x(w) + τ Sn(x, u + v) = x, s, τ d(in)x(w) + S(x, u + v) . IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA (2.7.7)
2.7 Prova del teorema di embedding aperto 57 Mostreremo adesso che per ogni t ∈ I = [0, 1] la mappa T Un+1 × H n+1 → Un+1 × H definita da (x, w, s, u, v) ↦−→ x, s, τ d(in+1) (x,ts)(w, tu) + S (x, ts), (1 − t)u + v è un isomorfismo. Supponiamo che d(in+1) (x,ts)(w0, tu0) + S (x, ts), (1 − t)u0 + v0 = = d(in+1) (x,ts)(w1, tu1) + S (x, ts), (1 − t)u1 + v1 . (2.7.8) Dunque esiste una carta (ϕi, Wi) di M contenente i due punti insieme con x ∈ Mn e (x, ts) ∈ Mn+1 (una carta (ϕi, Wi) contenente detti punti esiste poiché, per definizione, S applica una coppia (x, v) in un vettore di TxM, (cfr. lemma 2.46)). Siccome Wi ∩ Mn = ∅, dal lemma 2.46 segue che la rappresentazione di dϕi ◦ S (x, ts), (1 − t)uj + vj in questa carta è della forma (x, ts), (1 − t)uj + vj + β(x, ts) (1 − t)uj + vj , in cui β assume i propri valori in Hn. Inoltre, d(in+1) (x,ts)(wj, tuj) è della forma (x, ts), wj + tuj . La somma di questi due termini è quindi dϕi◦S (x, ts), (1−t)uj +vj +d(in+1) (x,ts)(wj, tuj) = (x, ts), uj +vj +wj +β(x, ts) (1−t)uj +vj . Ora, wj + β(x, ts) (1 − t)uj + vj ∈ Hn, uj ∈ 〈en+1〉, vj ∈ Hn+1 , da cui segue che (i) u0 = u1 e (ii) v0 = v1, quindi i.e., (iii) w0 = w1. w0 + β(x, ts) (1 − t)u0 + v0 = w1 + β(x, ts) (1 − t)u0 + v0 , Posto t = 0 in (2.7.8) si ottiene l’isomorfismo (x, w, s, u, v) ↦−→ x, s, τ d(in+1) (x,0)(w, 0) + S (x, 0), u + v = x, s, τ d(in)x(w) + S x, u + v , e cioè la mappa 2.7.7. Posto t = 1 in (2.7.8) si ottiene l’isomorfismo T Un+1 × H n+1 = T Mn ⊕ 1r 2 |Mn en+1 × R × H n+1 −→ Un+1 × H (x, w, s, u, v) ↦−→ x, s, τ d(in+1) (x,s)(w, u) + S (x, s), v il quale è certamente isotopo all’isomorfismo τn+1 : T Un+1 × H n+1 → Un+1 × H (2.7.9) τn+1(x, v1, v2) = x, τ d(in+1)x(v1) + Sn+1(x, v2) . (2.7.10) D’altra parte quest’ultimo si estende a τn+1 : T Mn+1 × H n+1 → Mn+1 × H, dunque anche (2.7.9) si estende ad un isomorfismo T Mn+1 × H n+1 → Mn+1 × H, isotopo a τn+1 : T Mn+1 × H n+1 → Mn+1 × H. Riassumendo, abbiamo dimostrato che il differenziale (2.7.4) è isotopo a (2.7.6) il quale è isotopo a (2.7.7) il quale è isotopo a (2.7.9) il quale si estende a un isomorfismo T Mn+1×H n+1 → Mn+1×H. Segue che anche il differenziale (2.7.4) si estende a un isomorfismo T Mn+1 × H n+1 → Mn+1 × H. Infine, siccome l’estensione di (2.7.9) è isotopa a τn+1 : T Mn+1 × H n+1 → Mn+1 × H, anche l’estensione del differenziale (2.7.4) (che è isotopa all’estensione di (2.7.9)) è isotopa a τn+1, quest’ultima isotopia essendo layer forte perché tutte le isotopie usate per ottenere τn+1 sono layer forti. La dimostrazione del lemma 2.76 è conclusa. RAUL TOZZI
Page 1:
Università degli Studi di Pisa Fac
Page 5 and 6:
Prefazione L’obiettivo principale
Page 7 and 8:
S 1 , che certamente non ammette un
Page 9:
Notazioni Notazioni di uso corrente
Page 12 and 13:
xii INDICE C.2.2 Fibrati Hilbertian
Page 14 and 15:
2 Fenomeni della dimensione infinit
Page 16 and 17:
4 Fenomeni della dimensione infinit
Page 18 and 19: 6 Fenomeni della dimensione infinit
Page 20 and 21: 8 Fenomeni della dimensione infinit
Page 22 and 23: 10 Fenomeni della dimensione infini
Page 31 and 32: Capitolo 2 Embedding aperti di vari
Page 33 and 34: 2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
Page 35 and 36: 2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
Page 37 and 38: 2.2 Mappe di Fredholm di indice zer
Page 45 and 46: 2.3 Filtrazioni di Fredholm 33 Nell
Page 47 and 48: 2.4 Filtrazioni di Fredholm totalme
Page 49 and 50: 2.4 Filtrazioni di Fredholm totalme
Page 51 and 52: 2.5 Filtrazioni di Fredholm augment
Page 61 and 62: 2.6 Raffinamento delle tecniche lay
Page 63 and 64: 2.6 Raffinamento delle tecniche lay
Page 65 and 66: 2.7 Prova del teorema di embedding
Page 67: 2.7 Prova del teorema di embedding
Page 71 and 72: 2.7 Prova del teorema di embedding
Page 73 and 74: Appendice A Propedeuticità topolog
Page 75 and 76: A.2 Assiomi di numerabilità 63 Lem
Page 77 and 78: A.3 La categoria di Baire 65 • X
Page 79 and 80: Appendice B Mappe di Fredholm: teor
Page 81 and 82: Appendice C Geometria differenziale
Page 83 and 84: C.1 Varietà di dimensione infinita
Page 85 and 86: C.1 Varietà di dimensione infinita
Page 87 and 88: C.2 Fibrati vettoriali 75 FV 3. Per
Page 89 and 90: C.2 Fibrati vettoriali 77 definita
Page 91 and 92: C.3 Partizioni dell’unità 79 Chi
Page 93 and 94: C.4 Varietà Riemanniane 81 Sia τ
Page 95: C.4 Varietà Riemanniane 83 Controe
Page 98 and 99: 86 Intorni tubolari una sezione di
Page 100 and 101: 88 Intorni tubolari Dimostrazione.
Page 102 and 103: 90 Intorni tubolari Allora esiste u
Page 104 and 105: 92 Intorni tubolari di h(X). Infine
Page 106 and 107: 94 Intorni tubolari D.6 Costruzione
Page 108 and 109: 96 Intorni tubolari Notazione 1. In
Page 110 and 111: 98 Intorni tubolari Osservazione D.
Page 112 and 113: 100 Mappe di Fredholm: teoria non l
Page 118 and 119:
106 Spray Si osservi che la composi
Page 120 and 121:
108 Spray È immediato verificare d
Page 122 and 123:
110 Spray Calcoliamo (T h) ′ (x,
Page 125 and 126:
Appendice G Analisi funzionale line
Page 127 and 128:
G.1 Richiami di analisi lineare neg
Page 129 and 130:
G.2 Richiami di analisi lineare neg
Page 131 and 132:
G.3 Piega in dimensione infinita 11
Page 133 and 134:
Bibliografia [Abr 62] R. Abraham, L
Page 135 and 136:
BIBLIOGRAFIA 123 [Hir 94] M. Hirsch
Page 137:
BIBLIOGRAFIA 125 [Wa 60] C.T.C. Wal
show all

Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?