Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.2 Mappe di Fredholm di indice zero proprie e limitate 31
Osservazione 2.32. Scopo della presente osservazione è provare in dettaglio l’implicazione
sh −−−−−→
h→+∞
+∞ =⇒ Tsh f ⇀ 0.
Ricordiamo che in un generico spazio normato X, una successione (xn) di X converge debolmente
ad un punto x in X se
∀ φ ∈ X ∗ , φ(xn) → φ(x).
Negli spazi di Hilbert, in virtù del teorema G.20 di Riesz, ogni siffatto funzionale φ è rappresentato
da uno ed un solo elemento dello spazio di Hilbert stesso, per cui
Tshf ⇀ 0 ⇐⇒ ∀ g ∈ L2
(R), Tshf, g2
−−−−−→ 〈0, g〉 = 0
h→+∞
⇐⇒ ∀ g ∈ L 2 +∞
(R), lim
h→+∞ −∞
⇐⇒ ∀ g ∈ L 2 +∞
(R), lim
x→+∞
−∞
Tshf(x) g(x) dx = 0
e −(x−t)2
g(t) dt = 0.
(2.2.19)
Quest’ultimo è l’integrale di convoluzione della gaussiana G(x) = e−x2 con la funzione g ∈ L2 (R),
per definizione di convoluzione infatti:
G ∗ g(x) :=
+∞
−∞
e −(x−t)2
g(t) dt.
Esistono risultati generali sulla convoluzione da cui il limite 2.2.19 segue subito: invocando il
teorema G.29 di cui nell’appendice G si dimostra che se p, q > 1 sono esponenti coniugati (in
particolare p = q = 2), f ∈ Lp (R) in particolare f(x) = G(x) = e−x2 ∈ L2 (R) e g ∈ Lq (R) (nel
nostro caso g ∈ L2 (R) , allora la convoluzione
f ∗ g(x) =
+∞
−∞
f(x − t) g(t) dt
esiste ed è una funzione continua e nulla all’infinito. Nell’appendice G, esempio G.30, si è fornita
a titolo di esempio un’altra motivazione che giustifica il limite 2.2.19, senza fare ricorso alla teoria
della convoluzione.
Teorema 2.33. Esiste una mappa di classe C ∞ , Fredholm di indice zero, limitata e propria
f : M → H.
Dimostrazione. Nelle notazioni introdotte nelle dimostrazioni delle proposizioni 2.28 e 2.31, l’immagine
di f2 è contenuta nel cilindro aperto 〈w〉×D1 := 〈w〉× 〈w〉 ⊥ ∩BO(1) . A meno di comporre
f2 con una mappa radiale, per esempio
(sw, u) ∈ 〈w〉 × 〈w〉 ⊥ ↦−→
sw,
εu
(1 + |u| 2 ) 1/2
, (2.2.20)
possiamo supporre che l’immagine di f2 sia contenuta nel cilindro chiuso 〈w〉 × Dε fornito dalla
proposizione precedente, in modo tale che il prodotto di composizione ψ ◦ f2 sia ben definito ( 5 ).
Posta f := ψ ◦ f2, f soddisfa tutte le richieste dell’enunciato del teorema.
Corollario 2.34. Esiste una mappa di classe C ∞ , Fredholm di indice zero, limitata e propria
f : M → H trasversa ad Hn per ogni n in N.
5 Si osservi che, a meno che l’immagine di f2 non sia già contenuta in 〈w〉×Dε, in generale è necessario comporre con
una mappa radiale del tipo indicato in (2.2.20), infatti, come è esplicitato dalla dimostrazione della proposizione 2.31,
è ε < 1
2 |f|| 2 < 3/4
RAUL TOZZI