Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

56 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita
Si consideri la mappa
d1 ◦ gn ◦ j −1
n | V ×{0} : V × {0} ⊂ Un+1 × H n+1 → HN × H N
(2.7.3)
e si osservi che la sua immagine è invero contenuta in HN × {0}. Infatti, indicato con x il generico
elemento di V , posto
allora
(y, v) := j −1
n (x, 0) ∈ Mn × H n
jn(y, v) = λn(y, πn+1(v)), π n+1 (v) = (x, 0)
e quindi in particolare π n+1 (v) = 0, equivalentemente v ∈ Hn+1. Dunque v ∈ H n ∩ Hn+1, i.e.,
v ∈ 〈en+1〉, in particolare (si ricordi che N ≫ n + 1) π N (v) = 0. Segue che, nelle notazioni
precedentemente introdotte,
d1 ◦ gn ◦ j −1
n (x, 0) = d1 ◦ gn(y, v) =
γn y, πN(v) , π N (v) ∈ HN × {0}.
Per concludere la prova del passo induttivo e quindi la dimostrazione della proposizione 2.75 il
seguente lemma di cui abbiamo già accennato giuoca un ruolo di centrale importanza:
Lemma 2.76. Il differenziale
d(gn ◦ j −1
n )| T (Un+1×H n+1 )Un+1 ×{0} : (x, w, v) ∈ T Un+1 × H n+1 ↦→ d(gn ◦ j −1
n ) (x,0)(w, v) ∈ H (2.7.4)
si estende ad un isomorfismo layer-forte
T Mn+1 × H n+1 −→ Mn+1 × H
layer-forte-isotopo a τn+1 : T Mn+1 × H n+1 → Mn+1 × H.
Dimostrazione del lemma 2.76. Mediante l’identificazione operata da jn, scriviamo il generico elemento
di Un+1 come (x, s) ∈ Mn × 〈en+1〉. Ciò è possibile, infatti, come si è osservato precedentemente,
j −1
n | Un+1×{0} : (y, 0) ∈ Un+1 × {0} ∼ =
−→ j −1
n (y, 0) = (x, s) ∈ Mn × (H n ∩ Hn+1) = Mn × 〈en+1〉.
Se (x, s) ∈ Un+1 e v ∈ H n+1 , allora
gn ◦ j −1
n (x, s, v) = gn(x, s + v), (2.7.5)
infatti jn(x, s + v) = λn(x, πn+1(s + v) , πn+1 (s + v) = λn(x, s), v = (x, s, v), in cui l’ultima
uguaglianza è dovuta al fatto che si è identificato Un+1 × {0} con la sua immagine mediante j−1 n .
Se scriviamo
T Un+1 = T Mn ⊕ 1r 2 |Mn en+1 × R
(Un+1 = Tn Mn × 1 2r
| en+1
∼= Mn ×
Mn
1 2r | en+1), il nostro differenziale 2.7.4 diventa la mappa
Mn
T Mn ⊕ 1r 2 |Mn en+1 × R × H n+1 −→ Mn × 1 2r | en+1 × H
Mn
data da (x, w, s, u, v) ↦→ x, s, d(gn ◦ j −1
n ) (x,s,0)(w, u, v) , in cui w ∈ TxMn. Scritto in questa forma
si vede subito che 2.7.4 è isotopo all’isomorfismo di fibrati definito da
(x, w, s, u, v) ↦−→ x, s, d(gn ◦ j −1
n ) (x,0,0)(w, u, v) (2.7.5)
= x, s, [d(gn) (x,0)](w, u + v) . (2.7.6)
Per l’ipotesi induttiva su βn,t, βn,0 ◦ (2.7.6) = (2.7.6) è (fortemente-layer) isotopo a βn,1 ◦ (2.7.6).
Inoltre, ancora per l’ipotesi induttiva (c) βn,1 ◦ (2.7.6) = τn, per cui, in definitiva, si ha che (2.7.6)
è isotopo a
(x, w, s, u, v) ↦−→ s, τn(x, w, u + v) = x, s, τ d(in)x(w) + τ Sn(x, u + v)
= x, s, τ d(in)x(w) + S(x, u + v) .
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
(2.7.7)