Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

10 Fenomeni della dimensione infinita
1.5.1 Il contributo di Bessaga
Sia H, 〈·, ··〉 un arbitrario spazio di Hilbert di dimensione infinita; denotiamo con | · | la norma
indotta da 〈·, ··〉. Sia S la sfera unitaria di H; Klee, [Kl 53], ha dimostrato che S è omeomorfa ad
H (tale risultato è falso in dimensione finita). Proveremo in questa sezione il seguente risultato più
forte:
Teorema 1.22 (Bessaga). Dotiamo S della sua struttura di sottovarietà di classe C ∞ indotta da
H. Allora esiste un diffeomorfismo di classe C ∞ f da S su H:
f : S ↠ H.
Per provare questo teorema sono necessari i seguenti risultati intermedi:
Lemma 1.23. Sia ω(·) una norma in H, di classe C ∞ su H \{O}, con ω(x) |x|. Allora esiste un
diffeomorfismo di classe C ∞ h2 di H su H che applica la palla unitaria chiusa {x ∈ H : |x| 1}
sull’insieme {x ∈ H : ω(x) 1}.
Dimostrazione. Sia λ(t) una funzione reale non decrescente di classe C ∞ definita per t > 0, tale
che λ(t) = 0 per t ≤ 1/2 e λ(t) = 1 per t ≥ 1. Sia
h 2(x) =
λ |x| |x|
ω(x) + 1 − λ |x|
x
se x = 0 e h 2(0) = 0. Si verifica che (1) h 2 è una applicazione iniettiva da H su H; (2) h 2 trasforma
la palla unitaria chiusa {x ∈ H : |x| 1} sull’insieme {x ∈ H : ω(x) 1}; (3) h 2 è di classe C ∞ ;
(4) usando un argomento di funzione implicita ([Di 69] teoremi 10.2.1 e 10.2.2) si conclude che h −1
2
è di classe C ∞ .
Proposizione 1.24. Esiste un diffeomorfismo di classe C ∞ h da H su H \ {O},
tale che h(x) = x su x ∈ H : |x| 1/2 .
h: H ↠ H \ {O},
Dimostrazione. Si faccia riferimento al capitolo VI.2 del testo [Be 75] di Bessaga-Pe̷lczyński.
Proposizione 1.25. Sia x0 in S. Allora esiste un diffeomorfismo di classe C ∞ g da S su S \{x0}:
Dimostrazione. Sia
g(x) :=
g : S ↠ S \ {x0}.
x se 〈x, x0〉 < √ 3
2 ,
ϕ−1 x0 ◦ h ◦ ϕx0 (x) se 〈x, x0〉 √ 3
2
in cui h è definito nella proposizione 1.24. Ovviamente g è iniettivo e g(S) = S \ {x0}. Si verifica
facilmente che, nelle notazioni introdotte nell’osservazione 1.21,
• se A ∋ y = x0, allora ϕy ◦ g ◦ ϕ −1
y è l’identità su S;
• ϕ −1
x0
◦ g ◦ ϕx0 e ϕ−1
x0 ◦ g−1 ◦ ϕx0 sono di classe C∞ .
Dunque g è un diffeomorfismo di classe C ∞ .
Siamo pronti per la dimostrazione del teorema di Bessaga:
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA