Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

58 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita
Concludiamo la dimostrazione della proposizione 2.75. Vogliamo anzitutto poter applicare il
teorema D.19. La mappa 2.7.3 che riportiamo qui di seguito per facilitare la lettura,
si estende ad un embedding
d1 ◦ gn ◦ j −1
n | V ×{0} : V × {0} ⊂ Un+1 × H n+1 → HN × H N ,
h: Mn+1 −→ HN
(per questo basti ricordare che ogni spazio metrico compatto di dimensione n ammette un embedding
in uno spazio euclideo di dimensione 2n + 1). Per costruzione h|V = d1 ◦ gn ◦ j −1
n (·, 0)|V .
Posto H n N := H N ∩ Hn , la restrizione
γn|Mn× r
2 Hn N : Mn × r
2 H n N → H N
è un embedding, inoltre d1 ◦ gn(Mn) ⊂ γn(Mn × r
si estende ad un embedding aperto
γn|Mn× r
2 Hn N
2 Hn N ) ⊂ HN. D’altra parte (cfr. [Wa 60], Part I.5)
g ′ n : Mn × H n N ⊂ Mn × H n −→ HN
dunque, nelle notazioni del teorema D.19, h|V si estende ad un embedding aperto
g : V × H n+1
N
−→ HN
definito ponendo g : def
= g ′ n ◦ j−1 n , in cui j−1 N ⊂ Un+1 × Hn+1 → Mn × Hn .
Si osservi che, con le definizioni date, h ∪ g è effettivamente un embedding. Per invocare il
ad una qualche mappa
n : V × H n+1
teorema D.19, è necessario estendere dg| n+1
T (V ×HN ) V ×{O}
α: T (Mn+1 × H n+1
N ) Mn+1×{O} −→ h(Mn+1) × HN . (2.7.11)
Per raggiungere questo obiettivo serve essenzialmente estendere il differenziale di (2.7.3) insieme ad
alcune semplici considerazioni di isotopia elementare del tipo di quelle già approntate per dimostrare
il lemma 2.76. Consideriamo dunque
d(d1 ◦ gn ◦ j −1
n )| T (V ×Hn+1 : (x, w, v) ∈ T )V
×{0}
V × H n+1 ↦−→ d(d1 ◦ gn ◦ j −1
n ) (x,0)(w, v) ∈ H.
Dal lemma 2.76 segue che, purché N sia scelto sufficientemente grande, quest’ultimo si estende ad
un isomorfismo
n+1 T Mn+1 × H
N
h(Mn+1) × HN × H ,
della forma (si ricordi che con h si è indicata l’estensione di d1 ◦ gn ◦ j −1
n (·, 0) a Mn+1)
(x, w), v ∈ T Mn+1 × H n+1 ↦−→ h(x), ξ(w, v) , π N (v) ∈ T HN × H N
(2.7.12)
in cui ξ : T Mn+1 × H n+1 → HN è una mappa opportuna (precisamente: siccome per il lemma 2.76
T (gn ◦ j −1
n )|T (V × H n+1 ) V ×{0} si estende ad un isomorfismo definito su tutto T Mn+1 × H n+1 ,
chiaramente
d(d1 ◦ gn ◦ j −1
n )| T (V ×Hn+1 = d(d1) ◦ d(gn ◦ j )V
×{0}
−1
n )| T (V ×Hn+1 )V
×{0}
si estende anch’esso ad un isomorfismo definito su tutto T Mn+1 × Hn+1 ; inoltre, siccome
d1 ◦ gn(· , ··) = γn · , πN (··) × π N (··),
l’estensione richiesta è effettivamente della forma 2.7.12).
Abbiamo ora tutti gli strumenti per concludere: considerazioni del tutto analoghe alle prece-
a una mappa del tipo
denti consentono di determinare una estensione di dg|T (V × H n+1
N ) V ×{O}
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA