Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

54 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita
Verifica della Base Induttiva. Per n = 0, H0 = {O}, H 0 = H, M0 = f −1 (O), poniamo
g0 : M0 × H → {O} × H così definita:
g0 := f|M0 × idH : (x, v) ∈ M0 × H ↦→ f(x), v = (0, v) ∈ {O} × H.
Posto ¯0 = 0, la proprietà (b) è banalmente verificata, infatti π ¯0 = idH ed inoltre π¯0 è la costante
O.
Per quanto riguarda la proprietà (c) si osservi innanzitutto che, siccome M0 ⊂ M è una sottovarietà
di dimensione zero, dunque un insieme discreto di punti, per la proprietà di compattezza di
M0 si ha che M0 è un insieme finito di punti in M. In particolare segue che T M0 ∼ = {Op1 , . . . , OpN }.
Ricordiamo che, per definizione,
S0(pi, v) =
j µj(pi) d(ϕ −1
j ) ϕj(pi)[v] =
j µj(pi) d(ϕ −1
j ) O[v]
quindi
precisamente
τ0 : {Op1 , . . . , OpN } ⊕ H → {p1, . . . , pN } × H,
τ0(pi, Opi , v) = pi, τ d(i0)pi (Opi ) + S0(pi, v) = pi, τ S0(pi, v)
= pi, τ
j µj(pi) d(ϕ −1
j )
ϕj(pi)[v] = pi,
j µj(pi) τ d(ϕ −1
j ) ϕj(pi)[v]
.
Consideriamo la seguente isotopia
definita ponendo
In particolare
β0 : R × {p1, . . . , pN} × H → R × {p1, . . . , pN} × H
β0(t, pi, v) = pi, t
j µj(pi) τ d(ϕ −1
j ) ϕj(pi)[v]
+ (1 − t)v . (2.7.1)
β0(1, pi, v) =
pi,
j µj(pi) τ d(ϕ −1
j ) ϕj(pi ) [v]
e la proprietà (c)(ii) è banalmente soddisfatta. Inoltre, posto t = 0 in (2.7.1) la proprietà (c)(i) è
ovviamente verificata; infine g0(M0 × rH) = {0} × rH ⊂ H, e anche la (d) segue.
Nel corso della dimostrazione del passo induttivo la comprensione può essere facilitata dalla
costruzione passo-passo del diagramma 2.7.14. Lo si confronti anche col diagramma parziale 2.6.8.
Passo induttivo. Assumiamo che esistano gn, βn,t ed ¯n soddisfacenti le proprietà richieste. L’idea
su cui si fonda la dimostrazione del passo induttivo è che, per estendere un embedding è sufficiente
provare che esso è isotopo a un embedding estendibile. In effetti, questa tecnica di estensione è uno
degli scopi principali della teoria dell’isotopia. Questa idea sarà concretizzata nella dimostrazione
del lemma 2.76. Per le definizioni ed i teoremi utili in questo contesto si faccia riferimento alla
sezione D.5 in appendice, oppure a [Hir 94], Capitolo 8.1 per una esposizione più dettagliata.
Sia N ≫ max(¯n, 2n + 2). Allora gn : Mn × H n → HN × H N può essere scritta come
gn(x, v) = γn(x, v), π N (v) , (2.7.2)
in cui γn : Mn × Hn → HN è opportuna (precisamente γn = πN ◦ gn : Mn × Hn → HN).
Sia λ: R → R una funzione monotona crescente con λ(t) = 0 per t ≤ 0, e λ(t) = 1 per t ≥ 1.
La mappa F : R × Mn × Hn → R × HN × HN definita da
(t, x, v) ↦→
N N
t, γn x, v − λ(t) π (v) , π (v)
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA