Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

D.3 Nozione di intorno tubolare 87
D.3 Nozione di intorno tubolare
Definizione D.6 (Intorno tubolare). Sia N una sottovarietà di una varietà M. Un intorno
tubolare di N in M è il dato di:
IT 1. Un fibrato vettoriale π : X → N su N.
IT 2. Indicata con ζ : N → X la sezione nulla, un intorno aperto V di ζ(N) in X
ζ(N) ⊂ V ⊂ X.
IT 3. Un insieme aperto U in M contenente N, N ⊂ U ⊂ M, ed un diffeomorfismo f : V → U
per cui f ◦ ζ = ι: N ↩→ U:
V
π |V
N
La mappa f è detta la mappa tubolare, e V (o la sua immagine tramite f) il corrispondente tubo in
X (o in M, rispettivamente). Diremo che l’intorno tubolare è totale se V = X, i.e., l’intero spazio
totale del fibrato.
Riassumendo, un intorno tubolare di N in M è una coppia (π, f) in cui π : X → N è un fibrato
vettoriale ed f è un diffeomorfismo da un intorno V della sezione nulla di X su un intorno U = f(V )
di N in M. Chiaramente, in particolare, possiamo definire la nozione di intorno tubolare quando il
diffeomorfismo f è un embedding.
Definizione D.7. Diremo che un intorno tubolare è Hilbertiano se il fibrato di cui al punto IT 1
della definizione D.6 precedente è un fibrato vettoriale Hilbertiano (cfr. sottosezione C.2.2).
D.4 Esistenza degli intorni tubolari
La costruzione di intorni tubolari per sottovarietà di R m è molto semplice: si considera il fibrato
normale relativo alla metrica canonica euclidea e lo si realizza parzialmente con l’aiuto delle
geodetiche euclidee: i segmenti. Per sottovarietà di una varietà astratta di dimensione finita si può
procedere in modo analogo, fissando una metrica Riemanniana sul tangente e usando le geodetiche
associate in luogo dei segmenti.
Più in generale, il teorema di esistenza dell’intorno tubolare per varietà astratte di dimensione
infinita asserisce che, fissata una varietà, ogni sottovarietà ha un intorno diffeomorfo al suo fibrato
normale (nel caso Riemanniano) o ad un intorno della sezione nulla di tale fibrato, nel caso Banach.
In quest’ultimo ambito più generale, quando cioè non si disponga di una metrica e dunque di una
buona nozione di fibrato normale, una comoda alternativa per dimostrare l’esistenza degli intorni
tubolari è fornita dalla nozione di spray 1 . Precisamente, come accenneremo nella dimostrazione
del teorema D.9, dato uno spray su una varietà di Banach M si può costruire un intorno tubolare
di una sottovarietà chiusa N di M facendo uso della mappa esponenziale determinata dallo spray
(cfr. sezione F.4). In particolare, quando lo spray è Riemanniano e M ammette partizioni dell’unità
allora si può sempre costruire un intorno tubolare totale (cfr. osservazione D.10). Il teorema di
esistenza dell’intorno tubolare nel caso Riemanniano è il seguente:
Teorema D.8. Sia N una sottovarietà chiusa di una varietà Riemanniana M. Allora esiste un
intorno tubolare di N in M.
1 Riportiamo nell’appendice F i risultati fondamentali a riguardo, rimandando per un’esposizione più dettagliata
a [Lan 01].
ζ
RAUL TOZZI
ι
f
U