Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Appendice C
Geometria differenziale in
dimensione infinita
Molte delle definizioni utili e delle costruzioni standard proprie della geometria e della topologia differenziale
in dimensione finita si trasportano invariate nelle corrispondenti generalizzazioni infinitodimensionali.
In questa appendice metteremo in risalto le differenze insieme ad altre definizioni
e risultati utilizzati frequentemente nelle varie parti della tesi (come referenza generale per una
trattazione completa ed organica si faccia riferimento al testo di Lang [Lan 01]).
Nel seguito considereremo sempre varietà modellate su uno spazio di Banach o di Hilbert reale
separabile di dimensione infinita. Inoltre, le varietà che considereremo saranno sempre assunte
connesse, separabili, di Hausdorff, secondo numerabili, paracompatte e differenziabili infinite volte,
a meno che non sia altrimenti espressamente specificato.
C.1 Varietà di dimensione infinita
Definizione C.1. Sia M un insieme ed E uno spazio di Banach. Una carta (U, ϕ) di M è un’applicazione
bigettiva ϕ: U → V ⊆ E, dove U è un sottoinsieme di M e V è un aperto. Se p ∈ U
diremo che (U, ϕ) è una carta in p; se inoltre ϕ(p) = O ∈ E diremo che la carta è centrata in p.
L’inversa ϕ −1 : V → U è detta parametrizzazione locale (in p).
Definizione C.2. Due carte (U, ϕ) e (V, ψ) di M sono compatibili se U ∩V = ∅, oppure U ∩V = ∅,
gli insiemi ϕ(U ∩V ), ψ(U ∩V ) sono aperti in E, e ψ◦ϕ −1 : ϕ(U ∩V ) → ψ(U ∩V ) è un diffeomorfismo
di classe C ∞ . Il diffeomorfismo ψ ◦ ϕ −1 viene detto cambiamento di carta.
Definizione C.3. Un atlante su un insieme M è una famiglia A = {(Uα, ϕα)} di carte a due a
due compatibili tali che M =
α Uα. Due atlanti A e B su uno stesso insieme M sono compatibili
se A ∪ B è ancora un atlante su M.
Osservazione C.4. Se A è un atlante su M allora esiste un unico atlante à massimale (rispetto
all’inclusione) che contiene A, ottenuto considerando tutte le carte locali compatibili con quelle di
A. L’atlante à così ottenuto è detto struttura differenziabile indotta da A.
Osservazione C.5. Se A = {(Uα, ϕα)} è un atlante su un insieme M allora esiste un’unica topologia
su M per cui tutti gli Uα sono aperti e tutte le ϕα sono degli omeomorfismi con l’immagine.
Definizione C.6. Una varietà (di classe C∞ ) modellata sullo spazio di Banach E è una coppia
(M, Ã), dove M è un insieme e à è un atlante massimale su M.
Osservazione C.7. Se M è una varietà di Banach allora M soddisfa il primo assioma di numerabilità.
Infatti le varietà di Banach sono localmente normabili, quindi localmente metrizzabili, dunque
localmente primo numerabili, i.e., primo numerabili.
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