Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

76 Geometria differenziale in dimensione infinita
Le applicazioni gβα sono dette le funzioni di transizione per il fibrato π : X → M associate al
ricoprimento {Uα}α∈Λ. In particolare, per ogni p ∈ Uα ∩ Uβ, gαβ(p) ◦ g βα (p) è l’identità di E,
quindi g αβ e g βα applicano ogni p in Uα ∩ Uβ in omeomorfismi inversi della fibra; inoltre le funzioni
di transizione soddisfano la cosiddetta condizione di cociclo:
(∀ p ∈ Uα ∩ Uβ ∩ Uγ) g αβ(p) ◦ g βγ(p) = g αγ(p). (C.2.3)
Si osservi che per ogni α, β ∈ Λ tale che Uα ∩ Uβ = ∅, per ogni p ∈ Uα ∩ Uβ, gαβ(p) appartiene ad
un gruppo G, sottogruppo di GL(E), precisamente
G = {gαβ(p) : p ∈ Uα ∩ Uβ, α, β ∈ Λ} ,
in cui 〈S〉 denota il sottogruppo generato dall’insieme S. Il gruppo G GL(E) è detto il gruppo
di struttura del dato fibrato vettoriale. Per esempio, se G è ridotto alla sola identità I : E → E,
allora π : X → M è necessariamente della forma π : M × E → M, e il fibrato è banale.
Inoltre, (cfr. FV 4) la continuità della mappa p ↦→ (χβ ◦ χ−1 α )p impone una specifica topologia
su G per la quale l’operazione di gruppo G × G → G, l’inversione G → G e l’azione G × E → E di
G su E siano continue.
Come per le varietà, possiamo recuperare la nozione di fibrato vettoriale a partire da un
ricoprimento banalizzante.
Proposizione C.34. Siano M una varietà di classe C ∞ , X un insieme e π : X → M un’applicazione
surgettiva. Supponiamo di avere un ricoprimento aperto {Uα} di M, uno spazio di Banach
E e applicazioni bigettive χα : π −1 (Uα) → Uα × E tali che
(a) π1 ◦ χα = π, dove π1 : U × E → U è la proiezione sulla prima coordinata;
(b) per ogni coppia (α, β) di indici tale che Uα ∩ Uβ = ∅ esiste un’applicazione di classe C ∞
gαβ : Uα ∩ Uβ → GL(E)
tale che la composizione χα ◦ χ −1
β : (Uα ∩ Uβ) × E → (Uα ∩ Uβ) × E sia della forma
χα ◦ χ −1
β (p, e) = p, gαβ(p)e . (C.2.4)
Allora l’insieme X ammette un’unica struttura di fibrato vettoriale su M per cui le χα siano
banalizzazioni locali.
Esempio C.35. Se M è una varietà di classe C ∞ modellata su uno spazio di Banach E, denotiamo
con T M l’unione disgiunta degli spazi tangenti TxM al variare di x in M. Abbiamo una proiezione
naturale τ : T M → M che applica TxM su x. Allora τ ha una naturale struttura di fibrato vettoriale
definita in questo modo. Se (U, ϕ) è una carta di M allora dalla definizione dei vettori tangenti come
classi di equivalenza di terne (U, ϕ, v) si ottiene subito una bigezione τ U : π −1 (U) = T U → U × E
che commuta con la proiezione su U, cioè tale che il diagramma
π−1 τU (U)
U × E
π
π1
U
è commutativo. Inoltre, se (Uα, ϕα) e (Uβ, ϕβ) sono due carte, denotata con ϕβα la mappa ϕβ ◦ϕ −1
α
definita su ϕα(Uα ∩ Uβ) , otteniamo la seguente mappa di transizione
τβα = τβ ◦ τ −1
α : ϕα(Uα ∩ Uβ) × E → ϕβ(Uα ∩ Uβ) × E,
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