Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

92 Intorni tubolari
di h(X). Infine G può essere scelto in modo tale che la restrizione di dG: T (X × R N−n ) → T R N
a T (X × R N−n ) X×{O},
dG| T X×R N−n : T X × R N−n −→ R N × R N
sia isotopa a α, via una isotopia di isomorfismi di fibrati vettoriali.
(D.5.7)
Osservazione D.20. Alcune precisazioni sul significato del teorema: X =: Xn è una varietà ndimensionale;
U ⊂ X è un aperto di varietà, dunque U eredita da Xn la struttura di sottovarietà di
dimensione n. U0 ⊂ U è un aperto di X ben contenuto in U (i.e., U 0 ⊂ U); per ipotesi h|U : U → RN si estende a g : U × RN−n → RN , più precisamente, h| U×{0} definita da h| U×{0}(u, 0) := h(u) si
estende a g. Il dominio ed il codominio di g sono varietà della stessa dimensione: n + (N − n) = N;
in particolare deve essere N n. Infine, un appunto sulla mappa h ∪ g : essa è definita su
X ∪ (U × RN−n ), dunque, in particolare
⎧
⎪⎨ (h ∪ g)(x) = h(x) se x ∈ X,
(h ∪ g)(x) = g(x, 0)
⎪⎩
se (x, 0) ∈ U × RN−n (h ∪ g)(x, v) = g(x, v)
,
se (x, v) ∈ U × RN−n .
L’idea su cui si fonda la dimostrazione del teorema è che, per estendere un embedding è sufficiente
provare che esso è isotopo a un embedding estendibile. In effetti, questa tecnica di estensione è uno
degli scopi principali della teoria dell’isotopia. Per le definizioni ed i teoremi utili in questo contesto
si faccia riferimento al testo di Hirsch [Hir 94], Capitolo 8.1.
Dimostrazione del teorema D.19: Dimostreremo il teorema stabilendo i passi 1 − 3 seguenti.
Passo 1. Sia V un sottoinsieme aperto di X tale che U 0 ⊂V ⊂V ⊂U. Posto
α0
dalle ipotesi segue che α0|T U = dh|T U . Sia
def
= α|T X := α| T X×{O}×{O},
bt : h(X) × R N → h(X) × R N
una isotopia di fibrati vettoriali tale che (1) b0 = id, (2) bt| h(V )×R N = id e (3) b1 ◦ dh = α0. Si
definisca
β : T X ⊕ R N−n −→ h(X) × R N
ponendo
Allora:
(i) α e β sono isotopi;
(ii) β|T X ≡ dh;
β : def
= b −1
1 ◦ α.
(iii) la restrizione di β a T (V ) ⊕ RN−n coincide identicamente con dg| T (V ×RN−n ; )V
×{O}
(iv) posto β1 := β| X×RN−n, per ogni (x, v) ∈ V × RN−n risulta β1(x, v) = d g(x, · )
O [v].
Segue che β1 può essere visto come un morfismo di fibrati X × R N−n → h(X) × R N , la cui somma
con dh: T X → h(X) × R N fornisce un isomorfismo di fibrati vettoriali
(dh ⊕ β1): T X ⊕ (X × R N−n ) −→ h(X) × R N .
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA