Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.7 Prova del teorema di embedding aperto 59
indicato in (2.7.11). Le ipotesi di applicabilità del teorema D.19 sono tutte soddisfatte, quest’ultima
fornisce quindi una estensione di g| U 0 n+1 ×(r/2)H n+1
N
a un intorno tubolare G: Mn+1 × H n+1
N
→ HN
di h(Mn+1).
Si definisca ˜g : Mn+1 × Hn+1 → H ponendo ˜g(x, v) = G x, πN(v) + πN (v). ˜g è un intorno
tubolare di h(Mn+1) in H. Si noti che ˜g| jn( ˜ D 0 n ) ≡ d1 ◦ gn ◦ j −1
n .
Per concludere la dimostrazione del passo induttivo utilizzeremo l’isotopia Jn+1 fornita dal
lemma 2.71: definiamo
gn+1 : Mn+1 × H n+1 → H
mediante
gn+1 = d −1
1
◦ ˜g ◦ Jn+1,1.
Proviamo che le richieste della proposizione 2.75 sono tutte soddisfatte: se (x, v) ∈ D 0 n allora
gn+1 ◦ ℓn(x, v) = d −1
1 ◦ ˜g ◦ Jn+1,1 ◦ ℓn(x, v)
= d −1
1 ◦ ˜g ◦ jn(x, v) = gn(x, v).
Posto n + 1 := N, gn+1 è un embedding aperto soddisfacente le condizioni (a), (b) e (d). Infine, il
opportuna soddisfacente la condizione (c).
lemma 2.76 fornisce una isotopia β n+1
t
Osservazione 2.77. La mappa F : R × Mn × Hn → R × HN × HN definita da
(t, x, v) ↦→
N N
t, γn x, v − λ(t) π (v) , π (v)
è una isotopia di embedding aperti con dominio proprio I = [0, 1].
Innanzitutto per la buona definizione di γn occorre osservare che v − λ(t) πN (v) ∈ Hn , e ciò è
vero, infatti, in particolare, è N > n e quindi πN (v) ∈ HN ⊂ Hn , dunque v − λ(t) πN (v) ∈ Hn .
Proviamo che, per ogni t, Ft è iniettivo, e cioè che da
N N ′ ′ N ′ N ′
γn x, v − λ(t) π (v) , π (v) = γn x , v − λ(t) π (v ) , π (v )
⇐⇒
N ′ ′ N ′ x, v − λ(t) π (v) = γn x , v − λ(t) π (v )
γn
πN (v) = πN (v ′ )
segue x = x ′ e v = v ′ . Da (2.7.13) si ha in particolare che π N (v) = π N (v ′ ), da cui
π N v − λ(t) π N (v) = π N (v) − λ(t) π N π N (v) = π N (v) − λ(t) π N (v) =
(2.7.13)
= π N (v ′ ) − λ(t) π N (v ′ ) = π N (v ′ ) − λ(t) π N π N (v ′ ) = π N v ′ − λ(t) π N (v ′ ) .
Dunque, ricordando la (2.7.2) e la prima delle (2.7.13)
N N N
gn x, v − λ(t) π (v) = γn x, v − λ(t) π (v) , π v − λ(t) π N (v) =
= ′ ′ N ′ N
γn x , v − λ(t) π (v ) , π v ′ − λ(t) π N (v ′ ) ′ ′ N ′
= gn x , v − λ(t) π (v ) ,
da cui, essendo per ipotesi induttiva gn un embedding e dunque iniettivo, segue che
x = x ′
v − λ(t) π N (v) = v ′ − λ(t) π N (v ′ )
i.e., x = x ′ e v = v ′ .
Si osservi esplicitamente che, per ogni t, Ft è un embedding aperto, infatti, per ipotesi induttiva
gn è un embedding aperto ed inoltre π N e πN , in quanto proiezioni, sono mappe aperte. Infine F
ha chiaramente dominio proprio I perché abbiamo avuto cura di scegliere λ ≡ 1 su [1, +∞[ e λ ≡ 0
su ] − ∞, 0].
RAUL TOZZI