Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.2 Mappe di Fredholm di indice zero proprie e limitate 29
è la mappa di classe C ∞ definita nella proposizione precedente, H1 ⊂ H essendo un sottospazio di
H di dimensione uno. Dunque per ogni fissato y in M, dαy ∈ L(TyM, H1) è un operatore lineare
limitato di rango finito e quindi ind (dfy + dαy) = ind (dfy) = 0.
Sia f0 : M → H la mappa Fredholm di indice zero fornita dal teorema 2.24. Componendo col
diffeomorfismo ϕ: H → BO(1) dato da
v ∈ H ↦→
v
1 + |v | 2 ∈ BO(1),
1/2
si ottiene una mappa Fredholm di indice zero e limitata f1 := ϕ◦f0 : M → H. Consideriamo dunque
la mappa f2 ottenuta dalla mappa f1 come indicato dalla proposizione 2.28: otteniamo così una
applicazione f2 : M → H Fredholm di indice zero, propria e con immagine limitata salvo che lungo
una direzione (spazio vettoriale di dimensione uno). Mostreremo adesso come ottenere a partire
da f2 una mappa Fredholm di indice zero, propria e limitata. Per questo scopo sarà conveniente
riguardare il modello di Hilbert separabile H della nostra varietà M come lo spazio L 2 (R) delle
funzioni reali a quadrato sommabile.
Proposizione 2.31. Sia H uno spazio di Hilbert reale, separabile, di dimensione infinita. Allora
esiste una applicazione di classe C ∞ , propria, Fredholm di indice zero e limitata da un cilindro
chiuso C di H indicato con w un elemento di H di norma unitaria, C = 〈w〉×( 〈w〉 ⊥ ∩ BO(ε) ) a valori
in H.
Dimostrazione. Riguardiamo H come lo spazio di Hilbert L 2 (R) e denotiamo come consueto con |· | 2
la relativa norma indotta. Consideriamo la funzione f(x) = e−x2. Allora chiaramente f ∈ L2 (R).
Sia w in L2 (R) una fissata funzione tale che |w |2 = 1, e denotiamo con 〈w〉 ⊥ l’iperpiano ortogonale
al sottospazio generato da w. Sia ε ∈ R + e BO(ε) ⊂ L2 (R) la palla aperta di raggio ε e centro
l’origine. Poniamo Dε := 〈w〉 ⊥ ∩ BO(ε).
Consideriamo la curva σ : R → L2 (R) definita ponendo
σ(s) : def
= f( · − s).
Dunque σ(s)(x) = f( · − s)(x) = f(x − s) = e−(x−s)2, quindi, effettivamente, (∀ s) σ(s) ∈ L2 (R).
In particolare risulta σ(0) = f e, come si verifica facilmente, . σ(s) = −f ′ (· − s).
Indichiamo con u = 〈u, w〉w + u − 〈u, w〉w il generico elemento di 〈w〉 × Dε. Chiaramente
u − 〈u, w〉w, w = 0, dunque converremo di porre u⊥ := u − 〈u, w〉w. In particolare, siccome
u ∈ 〈w〉 × Dε, deve essere |u⊥ |2
ψ : 〈w〉 × Dε → L
< ε. Nelle notazioni introdotte, consideriamo l’applicazione
2 (R) definita da
ψ(u) : def
= σ 〈u, w〉 + u⊥. (2.2.16)
L’immagine ψ(〈w〉 × Dε) ⊂ L 2 (R) è invero contenuta in una palla aperta BO(R), in cui R ∈ R +
è opportuno, infatti
ψ(u) 2 =
σ 〈u, w〉 + u⊥
≤ 2
≤ σ 〈u, w〉 2 + |u⊥ | 2 = |f | 2 + |u⊥ | 2 =
+∞
−∞
−x
e 2 1
2
2
dx + |u⊥ | 2 < 2 + ε,
e quindi sarà sufficiente scegliere R = ε + 2.
Proveremo adesso che se ε è sufficientemente piccolo allora la restrizione di ψ a 〈w〉 × Dε è una
mappa propria. Per semplificare le notazioni, introduciamo per ogni s in R l’operatore di traslazione
orizzontale:
Ts : L 2 (R) → L 2 (R), Ts(v) : def
= v( · − s).
RAUL TOZZI