Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

116 Analisi funzionale lineare
Dimostrazione. Risulta π n ⇒ O, i.e. π n (x)→0 per ogni x in H, dunque, in particolare
|π n (z0)| → 0.
Siccome per ogni x in E limn |π n x| = 0, in particolare deve essere sup n∈N |π n x| < ∞ e quindi, per
il teorema di Banach-Steinhaus, sup n∈N |π n | < ∞, i.e., esiste C in R + tale che, per ogni n in N,
|π n | ≤ C. Infine
0 ≤ ||π n (zn)| = |π n (zn − z0 + z0)| = |π n (zn − z0) + π n (z0)| ≤ |π n (zn − z0)| + |π n (z0)|
≤ |π n | · |zn − z0 | + |π n (z0)| ≤ C · |zn − z0 | + |π n (z0)| −−−−−→
n→+∞
C · 0 + 0 = 0,
e quindi π n (zn) → 0.
Nel caso in cui E = H sia uno spazio di Hilbert separabile si arriva alla stessa conclusione senza
bisogno di invocare il teorema di Banach-Steinhaus, essendo infatti |π n | = 1 per ogni n in N + .
G.2 Richiami di analisi lineare negli spazi di Hilbert
Proposizione G.15. Sia H, 〈·, ·〉 uno spazio pre-hilbertiano. Allora 〈·, ·〉 è una funzione congiuntamente
continua nelle due variabili rispetto alla norma indotta, i.e.,
|xn − x| → 0 ∧ |yn − y | → 0 ⇒ 〈xn, yn〉 → 〈x, y〉.
Dimostrazione. Si tratta di una conseguenza immediata della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
Definizione G.16. Un insieme di vettori S in uno spazio con prodotto scalare 〈·, ·〉 è detto un
sistema ortogonale se 0 /∈ S e per ogni x, y ∈ S tali che x = y risulta x ⊥ y, i.e. 〈x, y〉 = 0.
Un sistema ortogonale S in uno spazio con prodotto scalare è detto ortonormale se |s| = 1 per
ogni s in S. Si noti che se S è un sistema ortogonale, allora l’insieme dei vettori x/|x| : x ∈ S è
automaticamente un sistema ortonormale.
Un sottoinsieme convesso chiuso di uno spazio di Hilbert contiene un unico vettore che realizza
la distanza da un vettore assegnato. Precisamente:
Teorema G.17. Se A è un sottoinsieme convesso chiuso non vuoto di uno spazio di Hilbert H,
allora per ogni x in H esiste un unico y in A tale che
d(x, A) = |x − y |.
Sia H uno spazio con prodotto scalare. Se A è un sottoinsieme non vuoto di H, allora il
complemento ortogonale A ⊥ di A consiste di tutti i vettori che sono ortogonali ad ogni vettore di
A, i.e.,
A ⊥ := x ∈ H : x ⊥ y per ogni y ∈ A .
Dalla linearità e dalla continuità del prodotto scalare è chiaro che A ⊥ è sempre un sottospazio
chiuso di H tale che A ⊥ = ( A ) ⊥ e A ∩ A ⊥ = {0}. Inoltre, quando H è uno spazio di Hilbert e A è
un sottospazio chiuso, allora A insieme con A ⊥ genera l’intero spazio di Hilbert:
Teorema G.18. Se M è un sottospazio chiuso di uno spazio di Hilbert H, allora H = M ⊕ M ⊥ .
Dimostrazione. Siccome M ∩ M ⊥ = {0}, è sufficiente dimostrare che ogni vettore x in H è della
forma x = y + z, con y in M e z in M ⊥ . Poiché M è un insieme chiuso e (in quanto spazio
vettoriale) convesso, per il teorema G.17 della minima norma esiste un unico vettore y in M tale
che d(x, M) = |x − y |. Posto z = x − y si verifica che z ⊥ M.
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