Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Appendice B
Mappe di Fredholm: teoria lineare
Siano E ed F spazi di Banach reali. Denoteremo con L(E, F ) lo spazio di Banach degli operatori
lineari e limitati T : E → F .
Un operatore T ∈ L(X, Y ) è detto semi-Fredholm se la sua immagine è chiusa, ed almeno uno
degli spazi vettoriali ker T e coker T := Y/rk T ha dimensione finita. In questo caso è ben definito
l’indice di Fredholm di T ,
ind T = dim ker T − dim coker T ∈ Z = Z ∪ {−∞, +∞}.
Un operatore T ∈ L(E, F ) è detto di Fredholm se è semi-Fredholm e se ind T ∈ Z, quest’ultima
condizione equivalente alla richiesta che il nucleo ed il conucleo di T siano finito dimensionali.
Osservazione B.1. Se T ∈ L(E, F ) ha nucleo e conucleo di dimensione finita allora è Fredholm, in
altri termini la chiusura dell’immagine segue da queste ipotesi. Infatti, per il corollario G.7, essendo
in particolare dim coker T < ∞, T (E) è chiusa in F .
Se X e Y hanno dimensione finita, ogni T ∈ L(X, Y ) è Fredholm di indice dim X − dim Y . È
semplice esibire molti esempi di operatori di Fredholm nello spazio di Hilbert
ℓ 2 = {x ∈ N → R : |x| 2 < ∞} |x| 2 =
+∞
〈x, y〉 2 , 〈x, y〉 2 = x(n) y(n).
Sia k ∈ N. L’operatore L ∈ End(ℓ 2 ), (Lx)(n) = x(n + k) ha nucleo di dimensione k ed è
surgettivo, quindi è Fredholm di indice k. L’operatore R ∈ L(ℓ 2 ), Rx(n) = x(n − k) per n ≥ k e
Rx(n) = 0 per n < k, è iniettivo ed ha immagine chiusa di codimensione k, quindi è Fredholm di
indice −k. In effetti, LR = I.
L’operatore L ∈ End(ℓ 2 ), (Lx)(n) = x(2n) ha nucleo infinito dimensionale ed è surgettivo,
quindi è semi-Fredholm di indice +∞. L’operatore R ∈ L(ℓ 2 ), (Rx)(n) = x(n/2) per n pari e
(Rx)(n) = 0 per n dispari, è iniettivo ed ha immagine chiusa di codimensione infinita, quindi è
semi-Fredholm di indice −∞. Anche qui, LR = I.
Sia ˜ Φ(X, Y ) il sottoinsieme di L(X, Y ) costituito dagli operatori semi-Fredholm, Φ(X, Y ) il
sottoinsieme dei Fredholm, e Φn(E, F ) il sottoinsieme dei Φn-operatori, i.e., il sottoinsieme degli
operatori lineari e continui da E a F Fredholm di indice n.
Teorema B.2 ([Lan 83] 2.3, pag. 224). Gli insiemi ˜ Φ(X, Y ) e Φ(X, Y ) sono aperti in L(X, Y ),
e la funzione indice
ind : ˜ Φ(X, Y ) → Z
è localmente costante, quindi è costante su ogni componente connessa.
Ricordiamo che un operatore K ∈ L(X, Y ) si dice compatto o completamente continuo se
K manda insiemi limitati in insiemi pre-compatti, ove, si ricordi, un sottoinsieme di uno spazio
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n=0