Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

42 Embedding aperti di varietà di dimensione infinita
(infatti v ∈ T Vx (1/2)δ(x) ⇔ v ∈ T Vx e |v | τ(v) < 1
2δ(x); d’altra parte, siccome τ(v) ∈ Vx,
risulta δ τ(v) > 1
2δ(x) e quindi |v | τ(v) < δ τ(v) , i.e., v ∈ T Wj(δ); infine, siccome per costruzione
T Wj(δ) ⊂ Dj, si ottiene che exp
T Vx (1/2)δ(x) ⊂ exp T Wj(δ) ⊂ exp(Dj), ed essendo per
costruzione exp(Dj) ⊂ Wj si deduce l’equazione 2.5.1.)
Sia {Vi}i≥1 un raffinamento star-finito del ricoprimento aperto {Vx}x∈M ( 13 ). Dunque per ogni
i esiste x = xi tale che Vi ⊂ Vxi . Posto δi := (1/2)δ(xi), definiamo ρj := infi≥1{δi : Vj ∩ Vi = ∅}.
Sia {µj}j≥1 una partizione dell’unità subordinata al ricoprimento {Vj}j≥1, e definiamo la funzione
ρ: M → R + ponendo ρ(x) :=
j≥1 µj(x)ρj.
Sia x ∈ Vi ⊂ Vxi arbitrario. Allora per qualche j ∈ N + si ha che
exp T Vi(δi1) ⊂ Wj, (2.5.2)
infatti T Vi(δi1) = T Vi (1/2)δ(xi)1 e l’inclusione 2.5.2 segue da (2.5.1); inoltre, siccome
ρ(x) =
j≥1 µj(x)ρj ≤
j≥1 µj(x)δi = δi,
dall’inclusione 2.5.2 si deduce
expx TxVi(ρ) ⊂ Wj, (2.5.3)
infatti TxVi(ρ) def
= v ∈ TxVi : |v |x < ρ(x) e quindi v ∈ TxVi(ρ) ⇒ |v |x < ρ(x) ≤ δi = (1/2)δ(xi),
inoltre T Vi(δi1) = {v ∈ T Vi : |v | τ(v) < δ(xi)/2}, da cui v ∈ TxVi(ρ) ⇒ v ∈ T Vi(δi1) e quindi per
l’equazione 2.5.2 risulta expx(v) ∈ Wj.
Ricordiamo che per (x, v) in M ×H è definita S(x, v) =
j µj(x)(d(ϕj)x) −1 (v), inoltre si ricordi
che per definizione M × ρH = {(x, v) ∈ M × H : |(x, v)|x = |v | < ρ(x)}, dunque
S M × ρH = S(x, v) : (x, v) ∈ M × H e |v | < ρ(x) .
Siccome S è una mappa continua, S(M × ρH) è un intorno della sezione nulla di T M, inoltre, a
meno di scegliere ρ più piccola se necessario, possiamo supporre che S(M × ρH) sia contenuto nel
dominio della mappa esponenziale.
Per il punto (b), in virtù della relazione 2.5.3 secondo cui, per ogni i fissato e per ogni x ∈ Vi
esiste almeno un indice j = j(i) tale che
expx v ∈ TxVi : |v |x < ρ(x) ⊂ Wj(i), a meno di considerare ρ più piccola se necessario e di estrarre un ulteriore raffinamento star-finito
di {Vi}i≥1, si può sempre supporre che
expx S {x} × ρH = expx
j µj(x)
−1(v)
d(ϕj)x : |v | < ρ(x) ⊂ Wj(i), e anche la richiesta (b) è soddisfatta.
Osservazione 2.56. Nella dimostrazione del lemma 2.55, {(Wj, ϕj)} è un atlante qualunque di M,
i.e. non necessariamente layer-forte.
Definizione 2.57 (Applicazione Tn). Nelle notazioni del lemma 2.46, consideriamo la mappa
Tn : def
= exp ◦Sn definita in un intorno della sezione nulla del fibrato banale Yn×H n , intorno applicato
da Sn entro il dominio della mappa esponenziale (l’esistenza di un tale intorno è garantita dal punto
(a) del lemma 2.55 precedente, basterà infatti intersecare M × ρH con Yn × H n ), a valori in M.
Proposizione 2.58. Tn subordina un diffeomorfismo fra un intorno aperto di Mn×{0} in Mn×H n
e un intorno aperto di Mn in M, esistono cioè intorni aperti U ⊂ Mn × H n e V ⊂ M di Mn × {0}
e Mn rispettivamente tali che Tn|U : U → V è un diffeomorfismo.
13 Chiaramente {Vx}x∈M è un ricoprimento di M, infatti (∀ x ∈ M) x ∈ Vx.
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA