Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

14 Fenomeni della dimensione infinita
Osservazione 1.33. Lo spazio tangente alla varietà GL nell’identità I, T I GL, si identifica in modo
naturale con lo spazio di Banach End(E). Inoltre è ben definita la mappa esponenziale
exp: End(E) −→ GL(E) exp(A) :=
la serie converge assolutamente per ogni A in End(E) . Se A e B sono elementi di End(E) tali
che
allora si verifica facilmente che
[A, B] := AB − BA = O,
exp(A + B) = exp(A) exp(B).
In particolare exp(−A) = exp(A) −1 , dunque exp End(E) ⊂ GL. La mappa esponenziale fornisce
un omeomorfismo di un intorno di O in End(E) con un intorno di I in GL, per cui è ben definito
per ogni A in GL tale che |A − I | < 1
+∞
log(A) := −
n=1
(I − A) n
.
n
Lo spazio tangente all’elemento neutro, TIGL = End(E), considerato con la sua struttura di spazio
vettoriale e con l’operazione [·, ·]: TIGL × TIGL → TIGL, è un’algebra di Banach di Lie.
Sia H uno spazio di Hilbert reale ed S ⊂ End(H) la sottoalgebra di Lie degli operatori antisimmetrici
(i.e. tali che S ∗ = −S). Allora (exp S) ∗ = exp(S ∗ ) = exp(−S) = (exp(S)) −1 e quindi
exp(S) è un insieme di operatori ortogonali. Viceversa, se A = exp T è ortogonale, allora T deve
essere antisimmetrico. Dunque possiamo considerare S come l’algebra (di Banach) di Lie del gruppo
di Lie infinito dimensionale O delle trasformazioni ortogonali su H.
Osservazione 1.34. Probabilmente la differenza più ovvia tra l’algebra End(H) e la sua analoga in
dimensione finita è l’esistenza nella prima di un ideale bilatero non banale. L’insieme F di tutti gli
operatori aventi rango di dimensione finita, per esempio, è un tale ideale. Inoltre, esso è contenuto
in ogni ideale bilatero. La sua chiusura C rispetto alla metrica indotta dalla norma (l’insieme degli
operatori compatti) è perciò un ideale bilatero chiuso minimale. Questi fatti sono provati in [Ri 55].
Se H è separabile, allora C è anche un ideale massimale [Cal 41], e perciò è l’unico ideale bilatero
chiuso in End(H).
Proposizione 1.35. L’insieme K di tutti gli elementi di GL(H) della forma I + K, in cui K è un
operatore compatto, è un sottogruppo chiuso di GL.
Dimostrazione. Se A, B sono operatori compatti, allora A+B e AB sono ancora operatori compatti.
Segue che, se I + A e I + B sono elementi di K allora (I + A)(I + B) = I + (A + B + AB) è ancora
un elemento di K. Inoltre, se (I + K) −1 = I + T allora (I + K)(I + T ) = I + K + T + KT = I,
cosicché T = −(K + KT ) è un operatore compatto ogni volta che K lo è. Dunque K è un gruppo.
Ora, siccome C è un sottospazio chiuso di End(H), tale è anche la classe laterale I + C. Dunque
K = GL(H) ∩ (I + C) è un chiuso nella topologia relativa su GL(H).
Proposizione 1.36. L’esponenziale applica C in K, e fa corrispondere omeomorficamente a un
intorno di O in C un intorno di I in K.
Dimostrazione. Se A è compatto, exp(A) = I + ∞ n=1 1
n! An , dunque exp(A) − I è il limite di una
serie convergente di operatori compatti, quindi è esso stesso compatto. Segue che exp(C) ⊂ K.
Inoltre, in un intorno di I, abbiamo una mappa inversa definita da
∞ (−1)
log(I + A) =
n−1
A
n
n ,
dunque si vede che se A è compatto tale deve essere anche log(I + A).
n=1
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
+∞
n=0
A n
n!