Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

C.2 Fibrati vettoriali 77
definita per ogni x ∈ Uα ∩ Uβ e v ∈ E dalla formula
τβα(x, v) = ϕ βα(x), dϕ βα(x)[v] .
Poiché per ogni x, dϕ βα (x) è un isomorfismo, dalla proposizione C.34 segue che T M è un fibrato
vettoriale.
Osservazione C.36. Date due varietà M ed N modellate su uno spazio di Banach di dimensione
infinita E, il prodotto M × N è una varietà di Banach modellata su E × E. In particolare, dalla
definizione C.13 segue che il fibrato tangente T (M × N) è naturalmente isomorfo al prodotto
T M × T N.
Definizione C.37. Sia M è una varietà di classe C ∞ modellata su uno spazio di Banach. Diremo
che M è parallelizzabile se il suo fibrato tangente T M è banale.
Definizione C.38. Sia π : X → M un fibrato vettoriale su una varietà M. Una sezione di X è
una applicazione di classe C ∞ s: M → X tale che π ◦ s = idM , cioè tale che s(p) ∈ Xp per ogni
p ∈ M. Lo spazio vettoriale delle sezioni di X verrà indicato con E(M). La sezione ζX ∈ E(M) che
ad ogni punto p ∈ M associa il vettore nullo Op ∈ Xp è detta sezione nulla di X.
Definizione C.39. Siano π : X → M e π ′ : X ′ → M ′ due fibrati vettoriali. Un morfismo di fibrati
vettoriali π → π ′ è il dato di una coppia di morfismi
che soddisfano le seguenti condizioni:
f 0 : M → M ′
FV Mor 1. Il seguente diagramma è commutativo
e la mappa indotta per ogni p ∈ M
è una mappa lineare continua.
X
π
M
f0
f : X → X ′
f
′ X
π ′
′ M
f p : X p → X ′ f(p)
FV Mor 2. Per ogni p0 ∈ M esistono banalizzazioni locali
e
τ : π −1 (U) → U × E
τ ′ : π ′−1 (U ′ ) → U ′ × E ′
in p0 e f(p0) rispettivamente, tali che f0(U) è contenuto in U ′ , e tale che la mappa
da U in L(E, E ′ ) data da
p ↦→ τ ′ f 0 (p) ◦ f p ◦ τ −1
è un morfismo.
Denoteremo spesso un morfismo di fibrati con f e scriveremo quindi f : π → π ′ . Si osservi che
la proprietà FV Mor 2 è ridondante nel caso finito dimensionale.
RAUL TOZZI