Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.5 Filtrazioni di Fredholm augmentate 41
T , necessariamente della forma f(V ) \ f(E \ V ) con V ∈ V, tale che W ⊆ f(V ) \ f(E \ V ). Dunque
x ∈ V . Si osservi che, se W ′ ∈ W e W ∩ W ′ ∩ F = ∅, essendo f(x) ∈ F , risulta f(x) /∈ W ′ . Perciò
f(x) ∈ W \
W ′
W ∩W ′ ∩F =∅
e quindi x ∈ OV,W . Sia ora M := OV,W . Allora f|M è iniettiva (e quindi, poiché è aperta, è un
omeomorfismo con l’aperto N := f(M) di Y ). Infatti, siano x1 ∈ OV1,W1 e x2 ∈ OV2,W2 tali che
f(x1) = f(x2) = y. Allora
y ∈ W1 \
W ′ ,
e anche y ∈ W2, quindi W1 ∩ W2 ∩ F = ∅. Inoltre
W ′ ∈V
W1∩W ′ ∩F =∅
W1 ∩ W2 ∩ F ⊆ f(V1) ∩ f(V2) ∩ f(E \ V1) c ∩ f(E \ V2) c .
Perciò V1 ∩ V2 = ∅ (se y ∈ W1 ∩ W2 ∩ F ⇒ y = f(x) con x ∈ E; x /∈ E \ V1 e x /∈ E \ V2 e quindi
x ∈ V1 ∩ V2 = ∅). Quindi ∃ U ∈ U tale che OV1,W2 ∪ OV2,W2 ⊆ V1 ∪ V2 ⊆ U e poiché f|U è iniettiva
segue x1 = x2.
Definizione 2.54. Dato un fibrato vettoriale β : B → M con struttura Hilbertiana assegnata, se
ρ: M → R + è una assegnata funzione continua, denoteremo con B(ρ) l’insieme
B(ρ) : def
= v ∈ B : |v | β(v) < ρ β(v) ,
in cui |v | β(v) denota la norma Hilbertiana 12 di v nella fibra sopra β(v). Specificatamente, se
π1 : M ×H → M è un fibrato Hilbertiano banale su M a fibra costante H, denoteremo con M ×ρH
l’insieme
M × ρH := (M × H)(ρ) = (x, v) ∈ M × H : |(x, v)|x = |v | < ρ(x) ,
in cui | · || denota la norma indotta dal prodotto scalare di H. In particolare, per ogni x in M,
{x} × ρH =
(x, v) : v ∈ H ∧ |v | < ρx .
Nelle ipotesi e nelle notazioni precedentemente introdotte consideriamo il seguente lemma:
Lemma 2.55. Esiste una funzione continua ρ: M → R + ed un ricoprimento aperto numerabile
star-finito (Vi)i≥1 di M tale che
(a) la mappa esponenziale è definita su S(M × ρH);
(b) per ogni i ∈ N + esiste j = j(i) tale che
(∀ x ∈ Vi) expx S {x} × ρH ⊂ Wj(i).
Dimostrazione. Sia {(Wj, ϕj)}j∈N un atlante numerabile per la nostra varietà M. Fissato j ∈ N e
x ∈ Wj, per la continuità della mappa esponenziale esiste un intorno Dj ⊂ T Wj della sezione nulla
tale che exp(Dj) ⊂ Wj.
Indichiamo con τ : T Wj → Wj la restrizione a T Wj della proiezione T M → M. Sia δ : Wj → R +
una funzione continua tale che
T Wj(δ) = v ∈ T Wj : |v | τ(v) < δ τ(v) ⊂ Dj.
Posto Vx := {x ′ ∈ Wj : δ(x ′ ) > δ(x)/2}, allora chiaramente Vx ⊂ Wj è un sottoinsieme aperto di
M, inoltre
exp
T Vx (1/2)δ(x) ⊂ Wj
(2.5.1)
12 Si veda la sottosezione C.2.2 per la definizione e le proprietà principali dei fibrati Hilbertiani.
RAUL TOZZI