Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

74 Geometria differenziale in dimensione infinita
è una sottovarietà di U, e quindi di M, il cui spazio tangente in p ∈ U è per il teorema C.27 uguale
a
ker
d(π2 ◦ ψ ◦ f|U )p = (dfp) −1 (Tf(p)Z). Segue che f −1 (Z ∩ V ) è una sottovarietà di M per ogni carta V della forma (C.1.4), ossia f −1 (Z)
è una sottovarietà di M. Se Z ha codimensione finita allora F2 è finito dimensionale, e dunque
ancora per il teorema C.27,
codim f −1 (Z) = codim f −1 (Z ∩ V ) = dim(F2) = codim (Z).
Se f è di Fredholm, il nucleo di dfp ha dimensione finita e quindi, per il lemma C.28,
dim f −1 −1
(Z) = dim Tp f (Z) =
= dim(dfp) −1 (Tf(p)Z) (C.28)
= dim rk (dfp) ∩ Tf(p)Z + dim ker dfp. (C.1.5)
Siccome f ⋔ Z, rk (dfp) + T f(p)Z = T f(p)N dunque
Segue che
dim T f(p)N − dim rk (dfp) = dim T f(p)Z − dim rk (dfp) ∩ T f(p)Z . (C.1.6)
dim coker (dfp) = dim Tf(p)N − dim rk (dfp) = codim rk (dfp) C.1.6
=
= dim Tf(p)Z − dim rk (dfp) ∩ Tf(p)Z
e quindi (f è di Fredholm dunque dim coker (dfp) < ∞)
(C.1.7)
dim f −1 (Z) C.1.5
= dim rk (dfp) ∩ Tf(p)Z C.1.7
+ dim ker dfp =
= dim Tf(p)Z − dim coker (dfp) + dim ker dfp = dim Z + ind (f).
C.2 Fibrati vettoriali
Si rimanda il lettore al testo di Lang [Lan 01] per la dimostrazione dettagliata di alcuni risultati di
cui si è fornito solo l’enunciato.
Definizione C.30. Sia M una varietà di classe C ∞ e π : X → M un’applicazione surgettiva di
classe C ∞ fra una varietà X di classe C ∞ e la varietà M. Sia E uno spazio di Banach, {Uα} α∈Λ
un ricoprimento aperto di M, e, per ogni α ∈ Λ, supponiamo che sia data una mappa
χα : π −1 (Uα) → Uα × E
in modo tale che le seguenti proprietà siano soddisfatte:
FV 1. Per ogni p ∈ M l’insieme Xp := π −1 (p), detto fibra di X sopra p, è dotato di una struttura
di spazio vettoriale reale; indicheremo con Op il vettore nullo di Xp.
FV 2. La mappa χ α è un diffeomorfismo di classe C ∞ tale che π 1 ◦χ α = π (dove abbiamo indicato
con π 1 : Uα × E → Uα la proiezione sulla prima coordinata)
π −1 (Uα)
π
Uα
χα
Uα × E
In particolare, la restrizione di χα a ciascuna fibra è un isomorfismo lineare
Uα
π1
χ αp : Xp → {p} × E. (C.2.1)
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA