Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
Fenomeni della dimensione infinita
Molte delle definizioni e delle costruzioni standard proprie della geometria e della topologia differenziale
in dimensione finita si trasportano invariate nelle corrispondenti generalizzazioni in dimensione
infinita (cfr. appendice C).
Per contro, alcuni teoremi noti in dimensione finita cessano di essere veri in topologia infinito
dimensionale (l’osservazione E.9 nell’appendice E fornisce un primo esempio in questa direzione),
altri risultati invece sembrano essere connaturati alla dimensione infinita.
Questo capitolo introduttivo ha il duplice scopo di esporre alcune delle differenze più significative
ed estendere alcuni dei risultati più o meno ovvi propri della dimensione finita al caso infinito
dimensionale. Prediligeremo i risultati di cui non sia presente nella letteratura una dimostrazione
completa e dettagliata e che potrebbero costituire utili riferimenti per costruzioni future.
1.1 Il teorema di Whitney in dimensione infinita
In questa sezione forniremo una estensione in dimensione infinita del seguente classico teorema.
Teorema 1.1 (Whitney, 1944). Ogni varietà paracompatta di Hausdorff di dimensione n può
essere realizzata con un embedding come una sottovarietà chiusa di R 2n+1 , e come una sottovarietà
(non necessariamente chiusa) di R 2n .
Dimostrazione. Il teorema è un classico della geometria differenziale in dimensione infinita. Si
rimanda il lettore per esempio alla chiara dimostrazione presentata da Hirsch in [Hir 94].
Dunque ogni varietà può essere realizzata come sottovarietà chiusa di un qualche R N , per N
abbastanza grande, e quindi eredita una metrica Riemanniana indotta dalla metrica piatta di R N .
Inoltre, in questo modo è possibile ottenere tutte le varietà Riemanniane di dimensione finita, in
virtù del famoso teorema di Nash:
Teorema 1.2 (Nash, 1956). Ogni varietà Riemanniana di dimensione finita ammette un embedding
isometrico in R N , considerato con la metrica piatta, per N abbastanza grande.
Dimostrazione. Per la dimostrazione originale si faccia riferimento all’articolo di Nash [Na 56]. Si
presti attenzione al fatto che all’interno di [Na 56] c’è una lieve imprecisione nella dimostrazione
dell’iniettività dell’immersione di una varietà non compatta di dimensione n in uno spazio Euclideo
(n + 1)(n/2)(3n + 11) dimensionale. Questo fatto è stato notato per la prima volta da Solovay
in [Sol 98]. Per una dimostrazione alternativa si faccia comunque riferimento al lavoro di Günther,
[Gu 89].
Nel prossimo capitolo – che costituisce la parte centrale della tesi – otterremo come sottoprodotto
del teorema di embedding aperto di Eells-Elworthy (teorema 2.78) che ogni varietà Hilbertiana
separabile di dimensione infinita può essere dotata della metrica piatta.
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