Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Appendice F
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F.1 Campi di vettori
Sia M una varietà di classe C ∞ modellata su uno spazio di Banach E e π : T M → M il suo fibrato
tangente. Ricordiamo che un campo di vettori (indipendente dal tempo) su M è una sezione del
fibrato tangente, i.e. un morfismo
ξ : M → T M
tale che ξ(x) appartiene allo spazio tangente TxM per ogni x in M, o, ciò che è lo stesso, tale che
π ◦ ξ = id M . Se T M è banale, è isomorfo cioè al fibrato prodotto M × E, allora un campo di
vettori ξ : M → T M è completamente determinato dalla sua proiezione sul secondo fattore. In una
tale rappresentazione prodotto, la proiezione di ξ sul secondo fattore sarà detta la rappresentazione
locale di ξ. Essa è una mappa
f : M → E
e ξ(x) = x, f(x) . Diremo anche che ξ è rappresentato localmente da f se lavoreremo su un
sottoinsieme aperto U di M sopra il quale il fibrato tangente ammetta una banalizzazione.
Sia J un intervallo aperto di R. Il fibrato tangente di J è J × R. Abbiamo una sezione canonica
ι: J → J × R tale che ι(t) = 1 per ogni t in J. Sia α: J → M una curva di classe C 1 . A partire da
una assegnata curva α, possiamo sempre ottenere una mappa indotta sui fibrati tangenti:
dα
J ×
R
T M
α
ι
π
J
′
M
α
(F.1.1)
Denoteremo il prodotto di composizione dα ◦ ι con α ′ . La curva α ′ : J → T M sarà detta il sollevamento
canonico di α. In particolare, se α è di classe C p allora α ′ è una curva in T M di classe
C p−1 .
F.2 Campi di vettori del second’ordine
Sia α: J → M una curva di classe C ∞ . Un sollevamento di α in T M è una curva β : J → T M
tale che π ◦ β = α. Tali sollevamenti esistono sempre, basti pensare per esempio alla curva α ′ (il
sollevamento canonico di α) discussa nella precedente sezione (cfr. diagramma F.1.1).
Definizione F.1 (Campo vettoriale del second’ordine). Un campo vettoriale del second’ordine
su M è un campo vettoriale F sul fibrato tangente T M, F : T M → T (T M) tale che, indicata
con π : T M → M la proiezione di T M su M, risulta dπ ◦ F = id T M , i.e.
(∀ v ∈ T M) dπ ◦ F (v) = v. (F.2.1)
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