Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

More documents

Recommendations

Info

64 Propedeuticità topologiche Esempio A.16. Uno spazio di Banach dotato di una base di Schauder è separabile. Proposizione A.17. Ogni spazio metrico separabile è a base numerabile. Dimostrazione. Sia X uno spazio metrico separabile, scegliamo un sottoinsieme E ⊂ X denso e numerabile. È sufficiente dimostrare che la famiglia numerabile di palle aperte B = B(e, 2 −n ) : e ∈ E, n ∈ N è una base della topologia. Sia U un aperto di X e x∈U. Sia n ∈ N un intero tale che B(x, 2 1−n )⊂U. Poiché E è denso esiste e ∈ E ∩ B(x, 2 −n ). Per simmetria x ∈ B(e, 2 −n ) e per la disuguaglianza triangolare B(e, 2 −n ) ⊂ B(x, 2 1−n ) ⊂ U. Osservazione A.18. Gli spazi metrici soddisfano il primo assioma di numerabilità. In generale uno spazio metrico non soddisfa il secondo assioma di numerabilità (per esempio R con la topologia discreta) a meno che non si supponga che esso sia separabile: è questo il caso degli spazi metrici compatti. In ogni caso, gli spazi metrici separabili soddisfano entrambi gli assiomi di numerabilità. Osservazione A.19. Se uno spazio topologico ha un sottoinsieme non numerabile discreto, non può essere secondo numerabile. Osservazione A.20 (Proprietà di Lindelöf). In uno spazio topologico a base numerabile, da ogni ricoprimento aperto si può sempre estrarre un sottoricoprimento numerabile. Esempio A.21. Sia C(R) lo spazio di Banach delle funzioni continue limitate su R con la norma data dall’estremo superiore. Allora C(R) è primo numerabile ma non è secondo numerabile. Per vedere questo definiamo per ogni numero reale x espresso in forma decimale una funzione limitata continua fx il cui valore per n ∈ Z è l’n-esima cifra decimale dopo la virgola. Allora |fx − fy |∞ è sempre maggiore o al più uguale a 1 per x = y, il che significa che {fx : x ∈ R} è un sottospazio non numerabile discreto di C(R), e C(R) non può essere secondo numerabile. Esempio A.22. Sia H uno spazio di Hilbert “inseparabile”, cioè uno spazio che non ha basi di Hilbert numerabili. Una base di Hilbert {eλ}λ∈Λ avrà allora un insieme di indici non numerabile, e poiché |eλ − eµ | = √ 2 per λ = µ, segue come sopra che H non soddisfa il secondo assioma, ma poiché è uno spazio metrico soddisfa il primo. Esempio A.23. Uno spazio di Hilbert di dimensione infinita con la topologia debole (la meno fine per la quale i funzionali lineari, cioè le applicazioni 〈v, · 〉: H → R, v ∈ H sono continui) non è primo numerabile. Infine, enunciamo e dimostriamo una proposizione che può essere considerata una versione primitiva, puramente topologica di alcune delle costruzioni specifiche e tecniche affrontate nel corpo della tesi: le filtrazioni di Fredholm. Premettiamo un lemma e una osservazione: Lemma A.24. Sia (X, τ) uno spazio topologico di Hausdorff. Sia U ∈ τ e V ⊂ U un sottoinsieme tale che la chiusura di V in U sia compatta. Allora tale chiusura coincide con la chiusura di V in X. Osservazione A.25. Siano V, U ⊂ X aperti, con X spazio topologico di Hausdorff. In virtù del lemma A.24, la scrittura V ⋐ U non è ambigua (cioè è indifferente che si usi la chiusura di V in U o in X). Proposizione A.26. Sia (X, τ) uno spazio topologico connesso, di Hausdorff, localmente compatto e soddisfacente il secondo assioma di numerabilità. Esiste allora una successione Gi ∈ τ, i ∈ N, tale che: • Gi ⋐ X per ogni i; • Gi ⊂ Gi+1; IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
A.3 La categoria di Baire 65 • X = ∞ i=1 Gi. Dimostrazione. Possiamo supporre senza perdita di generalità che X non sia compatto, altrimenti basta porre Gi = X per ogni i. Sia S = {U1, U2, . . .} una base numerabile per τ costituita da aperti con chiusura compatta. Poniamo G1 = U1. Allora G1 è compatto ed è coperto dagli Ui, pertanto esiste un minimo indice j2 tale che G1 ⊂ j2 i=1 Ui. Poniamo allora G2 = j2 i=1 Ui. Induttivamente, supponiamo definito Gk = jk i=1 Ui; allora Gk = jk i=1 U i è compatto e coperto dagli Ui, pertanto esiste un minimo indice jk+1 tale che Gk ⊂ jk+1 i=1 Ui; poniamo dunque Gk+1 = jk+1 i=1 Ui. Allora j1 < j2 < · · · . In effetti, se fosse jk = jk+1 per qualche k avremmo jk jk Gk = Ui ⊂ Gk ⊂ Ui, i=1 e quindi Gk = Gk sarebbe sia aperto che chiuso. Dato che X non è compatto, deve essere Gk = X (e Gk = ∅), pertanto Gk sarebbe un sottoinsieme non banale di X sia aperto che chiuso. Ciò contraddice l’ipotesi che X sia connesso. Dato che allora j1 < j2 < · · · si ha jk ↑ +∞ e quindi X = i Gi. A.3 La categoria di Baire La definizione rigorosa di spazio di Baire è stata più volte modificata nel tempo, adattandola, di volta in volta, ai nuovi punti di vista proposti dal pensiero matematico. In primo luogo, vedremo la definizione moderna, per poi esaminare una definizione diversa e più vicina a quella originariamente introdotta da Baire 1 . Definizione A.27 (Spazio di Baire, definizione moderna). Uno spazio topologico X è detto uno spazio di Baire se l’intersezione numerabile di ogni famiglia di aperti densi in X è densa in X (e quindi, in particolare è non vuota) oppure equivalentemente, passando alla contronominale, se l’unione numerabile di ogni famiglia di chiusi a parte interna vuota ha parte interna vuota. Tale definizione è equivalente ad ognuna delle seguenti: • La parte interna di ogni unione numerabile di insiemi aventi parte interna della chiusura vuota è vuota. • Se l’unione di una famiglia numerabile di sottoinsiemi chiusi di X ammette un punto interno, allora uno degli elementi di tale famiglia ammette un punto interno. Nella sua definizione originaria, Baire introdusse la nozione di categoria (da non confondere con la teoria delle categorie) nei seguenti termini: Definizione A.28 (Spazio di Baire, definizione classica). Un sottoinsieme di uno spazio topologico X è detto • ovunque non denso o mai denso in X se la parte interna della sua chiusura è vuota, equivalentemente, se il complementare della sua chiusura è denso; • di prima categoria o magro in X se lo si può ottenere come unione di una famiglia numerabile di insiemi ovunque non densi; • di seconda categoria o non-magro in X se non è di prima categoria in X. La definizione di spazio di Baire può allora essere enunciata come segue: uno spazio topologico X è uno spazio di Baire se ogni insieme aperto non vuoto è di seconda categoria in X. Tale definizione è equivalente a quella moderna (cfr. definizione A.27). 1 Baire, René-Louis (1899), Sur les fonctions de variables réelles, Annali di Mat. Ser. 3 3, 1–123. RAUL TOZZI i=1
Page 1:
Università degli Studi di Pisa Fac
Page 5 and 6:
Prefazione L’obiettivo principale
Page 7 and 8:
S 1 , che certamente non ammette un
Page 9:
Notazioni Notazioni di uso corrente
Page 12 and 13:
xii INDICE C.2.2 Fibrati Hilbertian
Page 14 and 15:
2 Fenomeni della dimensione infinit
Page 16 and 17:
Page 18 and 19:
Page 20 and 21:
Page 22 and 23:
10 Fenomeni della dimensione infini
Page 24 and 25:
12 Fenomeni della dimensione infini
Page 26 and 27: 14 Fenomeni della dimensione infini
Page 28 and 29: 16 Fenomeni della dimensione infini
Page 31 and 32: Capitolo 2 Embedding aperti di vari
Page 33 and 34: 2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
Page 35 and 36: 2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
Page 37 and 38: 2.2 Mappe di Fredholm di indice zer
Page 45 and 46: 2.3 Filtrazioni di Fredholm 33 Nell
Page 47 and 48: 2.4 Filtrazioni di Fredholm totalme
Page 49 and 50: 2.4 Filtrazioni di Fredholm totalme
Page 51 and 52: 2.5 Filtrazioni di Fredholm augment
Page 61 and 62: 2.6 Raffinamento delle tecniche lay
Page 63 and 64: 2.6 Raffinamento delle tecniche lay
Page 65 and 66: 2.7 Prova del teorema di embedding
Page 73 and 74: Appendice A Propedeuticità topolog
Page 75: A.2 Assiomi di numerabilità 63 Lem
Page 79 and 80: Appendice B Mappe di Fredholm: teor
Page 81 and 82: Appendice C Geometria differenziale
Page 83 and 84: C.1 Varietà di dimensione infinita
Page 85 and 86: C.1 Varietà di dimensione infinita
Page 87 and 88: C.2 Fibrati vettoriali 75 FV 3. Per
Page 89 and 90: C.2 Fibrati vettoriali 77 definita
Page 91 and 92: C.3 Partizioni dell’unità 79 Chi
Page 93 and 94: C.4 Varietà Riemanniane 81 Sia τ
Page 95: C.4 Varietà Riemanniane 83 Controe
Page 98 and 99: 86 Intorni tubolari una sezione di
Page 100 and 101: 88 Intorni tubolari Dimostrazione.
Page 102 and 103: 90 Intorni tubolari Allora esiste u
Page 104 and 105: 92 Intorni tubolari di h(X). Infine
Page 106 and 107: 94 Intorni tubolari D.6 Costruzione
Page 108 and 109: 96 Intorni tubolari Notazione 1. In
Page 110 and 111: 98 Intorni tubolari Osservazione D.
Page 112 and 113: 100 Mappe di Fredholm: teoria non l
Page 118 and 119: 106 Spray Si osservi che la composi
Page 120 and 121: 108 Spray È immediato verificare d
Page 122 and 123: 110 Spray Calcoliamo (T h) ′ (x,
Page 125 and 126: Appendice G Analisi funzionale line
Page 127 and 128:
G.1 Richiami di analisi lineare neg
Page 129 and 130:
G.2 Richiami di analisi lineare neg
Page 131 and 132:
G.3 Piega in dimensione infinita 11
Page 133 and 134:
Bibliografia [Abr 62] R. Abraham, L
Page 135 and 136:
BIBLIOGRAFIA 123 [Hir 94] M. Hirsch
Page 137:
BIBLIOGRAFIA 125 [Wa 60] C.T.C. Wal
show all

Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?