Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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66 Propedeuticità topologiche Definizione A.29 (Residuale). Se X è uno spazio topologico e S è un sottoinsieme di X, allora S è detto residuale o comagro se il suo complementare X \ S è magro. Teorema A.30 (Baire, spazi metrici). Ogni spazio metrico completo è uno spazio di Baire. Il teorema si può enunciare dicendo che in uno spazio metrico completo il complementare di un insieme magro è denso. In particolare ogni sottospazio aperto di uno spazio di Baire è uno spazio di Baire e ogni spazio metrico completo è di seconda categoria. Una ottima referenza in cui approfondire la teoria riguardante gli spazi di Baire è [Mun 00]. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
Appendice B Mappe di Fredholm: teoria lineare Siano E ed F spazi di Banach reali. Denoteremo con L(E, F ) lo spazio di Banach degli operatori lineari e limitati T : E → F . Un operatore T ∈ L(X, Y ) è detto semi-Fredholm se la sua immagine è chiusa, ed almeno uno degli spazi vettoriali ker T e coker T := Y/rk T ha dimensione finita. In questo caso è ben definito l’indice di Fredholm di T , ind T = dim ker T − dim coker T ∈ Z = Z ∪ {−∞, +∞}. Un operatore T ∈ L(E, F ) è detto di Fredholm se è semi-Fredholm e se ind T ∈ Z, quest’ultima condizione equivalente alla richiesta che il nucleo ed il conucleo di T siano finito dimensionali. Osservazione B.1. Se T ∈ L(E, F ) ha nucleo e conucleo di dimensione finita allora è Fredholm, in altri termini la chiusura dell’immagine segue da queste ipotesi. Infatti, per il corollario G.7, essendo in particolare dim coker T < ∞, T (E) è chiusa in F . Se X e Y hanno dimensione finita, ogni T ∈ L(X, Y ) è Fredholm di indice dim X − dim Y . È semplice esibire molti esempi di operatori di Fredholm nello spazio di Hilbert ℓ 2 = {x ∈ N → R : |x| 2 < ∞} |x| 2 = +∞ 〈x, y〉 2 , 〈x, y〉 2 = x(n) y(n). Sia k ∈ N. L’operatore L ∈ End(ℓ 2 ), (Lx)(n) = x(n + k) ha nucleo di dimensione k ed è surgettivo, quindi è Fredholm di indice k. L’operatore R ∈ L(ℓ 2 ), Rx(n) = x(n − k) per n ≥ k e Rx(n) = 0 per n < k, è iniettivo ed ha immagine chiusa di codimensione k, quindi è Fredholm di indice −k. In effetti, LR = I. L’operatore L ∈ End(ℓ 2 ), (Lx)(n) = x(2n) ha nucleo infinito dimensionale ed è surgettivo, quindi è semi-Fredholm di indice +∞. L’operatore R ∈ L(ℓ 2 ), (Rx)(n) = x(n/2) per n pari e (Rx)(n) = 0 per n dispari, è iniettivo ed ha immagine chiusa di codimensione infinita, quindi è semi-Fredholm di indice −∞. Anche qui, LR = I. Sia ˜ Φ(X, Y ) il sottoinsieme di L(X, Y ) costituito dagli operatori semi-Fredholm, Φ(X, Y ) il sottoinsieme dei Fredholm, e Φn(E, F ) il sottoinsieme dei Φn-operatori, i.e., il sottoinsieme degli operatori lineari e continui da E a F Fredholm di indice n. Teorema B.2 ([Lan 83] 2.3, pag. 224). Gli insiemi ˜ Φ(X, Y ) e Φ(X, Y ) sono aperti in L(X, Y ), e la funzione indice ind : ˜ Φ(X, Y ) → Z è localmente costante, quindi è costante su ogni componente connessa. Ricordiamo che un operatore K ∈ L(X, Y ) si dice compatto o completamente continuo se K manda insiemi limitati in insiemi pre-compatti, ove, si ricordi, un sottoinsieme di uno spazio 67 n=0
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Bibliografia [Abr 62] R. Abraham, L
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BIBLIOGRAFIA 123 [Hir 94] M. Hirsch
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BIBLIOGRAFIA 125 [Wa 60] C.T.C. Wal
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