Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

120 Analisi funzionale lineare
(h) f(x ) h = t2 he + y(h)h
, che è una successione in K. Dunque f(x (h) )
ammette una sottosuc-
h
cessione f(x (hi) )
i = t2 e + y(hi)
hi i convergente a un punto z di K. Segue che esistono1 punti re
ed y = (0, y2, y3, . . .) tali che t2 hiei e y (hi)
i convergono a re ed y = (0, y2, y3, . . .) rispettivamente,
ed inoltre re+y = z ∈ K. In particolare, a meno di passare a una sottosuccessione segue che thie
i
converge a un certo te (tale che t2 = r). L’elemento te + y ∈ X è invero un elemento di f −1 (K),
infatti f te + y = t2e + y = re + y = z ∈ K, inoltre
lim
i→∞ x(hi)
= lim thie + y
i→∞
(hi) = te + y.
Verifichiamo che f è Fredholm di indice zero. Per questo scopo occorre calcolare il differenziale
di Fréchèt df x0 di f in x0 = a e + b, dove b = (0, b2, b3, . . .), con a, b2, b3, . . . ∈ R. Se x = (x1, x2, . . .)
si ha
df x0 (x) = (2a x1, x2, x3, . . .)
di modo che: se a a = 0 allora df x0 è un isomorfismo, la mappa inversa essendo
(yj) j≥1 ↦→ (y1/(2a), y2, y3, . . .);
se a = 0, dfx0 ha come nucleo R e (dimensione 1) e come immagine lo spazio dei vettori con prima
coordinata nulla, supplementare di R e e quindi di codimensione 1.
Osservazione G.32. La proposizione G.31 si generalizza a spazi del tipo X = R × V , con V spazio
di Banach, prendendo f(t, v) = (t 2 , v).
Osservazione G.33. Chiaramente il risultato espresso dalla proposizione precedente continua ad
essere vero quando in luogo dello spazio di Banach X dotato di una base di Schauder si consideri
uno spazio di Hilbert separabile.
1 Siccome f x (hi)
i è convergente, essa è di Cauchy, i.e., t2 h e + y
i (hi) − t2 e − y hj (hj ) i,j→∞ −−−−−→ 0. Segue che
2
t2 hi i e y (hi)
sono di Cauchy, da cui, per la completezza di R e X, esse sono convergenti.
i
IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA