Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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104 Mappe di Fredholm: teoria non lineare osserviamo che |unk − unl |H ≤ 1 s 0 0 |ynk (r) − ynl (r)|H drds ≤ sup |ynk r∈[0,1] (r) − ynl (r)|H −−−−−−→ nk,nl→∞ 0. Segue che la successione (unk ) è di Cauchy e perciò è convergente in H. Ciò implica che l’operatore definito dall’integrale nell’equazione E.1.5 è compatto e conseguentemente, ˜σ −1 1 ◦ d(exp p)v = U(1) = id + K, in cui K : H → H è un operatore compatto. Siccome ˜σt è un isomorfismo, segue che d(exp p)v è un operatore di Fredholm di indice zero. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
Appendice F Spray F.1 Campi di vettori Sia M una varietà di classe C ∞ modellata su uno spazio di Banach E e π : T M → M il suo fibrato tangente. Ricordiamo che un campo di vettori (indipendente dal tempo) su M è una sezione del fibrato tangente, i.e. un morfismo ξ : M → T M tale che ξ(x) appartiene allo spazio tangente TxM per ogni x in M, o, ciò che è lo stesso, tale che π ◦ ξ = id M . Se T M è banale, è isomorfo cioè al fibrato prodotto M × E, allora un campo di vettori ξ : M → T M è completamente determinato dalla sua proiezione sul secondo fattore. In una tale rappresentazione prodotto, la proiezione di ξ sul secondo fattore sarà detta la rappresentazione locale di ξ. Essa è una mappa f : M → E e ξ(x) = x, f(x) . Diremo anche che ξ è rappresentato localmente da f se lavoreremo su un sottoinsieme aperto U di M sopra il quale il fibrato tangente ammetta una banalizzazione. Sia J un intervallo aperto di R. Il fibrato tangente di J è J × R. Abbiamo una sezione canonica ι: J → J × R tale che ι(t) = 1 per ogni t in J. Sia α: J → M una curva di classe C 1 . A partire da una assegnata curva α, possiamo sempre ottenere una mappa indotta sui fibrati tangenti: dα J × R T M α ι π J ′ M α (F.1.1) Denoteremo il prodotto di composizione dα ◦ ι con α ′ . La curva α ′ : J → T M sarà detta il sollevamento canonico di α. In particolare, se α è di classe C p allora α ′ è una curva in T M di classe C p−1 . F.2 Campi di vettori del second’ordine Sia α: J → M una curva di classe C ∞ . Un sollevamento di α in T M è una curva β : J → T M tale che π ◦ β = α. Tali sollevamenti esistono sempre, basti pensare per esempio alla curva α ′ (il sollevamento canonico di α) discussa nella precedente sezione (cfr. diagramma F.1.1). Definizione F.1 (Campo vettoriale del second’ordine). Un campo vettoriale del second’ordine su M è un campo vettoriale F sul fibrato tangente T M, F : T M → T (T M) tale che, indicata con π : T M → M la proiezione di T M su M, risulta dπ ◦ F = id T M , i.e. (∀ v ∈ T M) dπ ◦ F (v) = v. (F.2.1) 105
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Università degli Studi di Pisa Fac
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Notazioni Notazioni di uso corrente
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Capitolo 2 Embedding aperti di vari
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