Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
Embedding aperti di varietà di
dimensione infinita
Nel seguito indicheremo con H uno spazio di Hilbert reale, separabile, di dimensione infinita, inoltre
denoteremo con M una varietà modellata su H siffatto e assumeremo sempre che essa sia connessa,
separabile, di Hausdorff, paracompatta e differenziabile infinite volte, a meno che non sia altrimenti
specificato. Tutte le varietà e le applicazioni saranno sempre assunte di classe C ∞ . Precisamente,
quando nel seguito ci riferiremo ad uno spazio di Hilbert H oppure ad una varietà M senza ulteriori
specifiche, allora H ed M dovranno essere sempre intesi come sopra.
Scopo di questo capitolo è principalmente quello di fornire una dimostrazione chiara e dettagliata
del seguente enunciato: Esiste un embedding aperto di M in H.
2.1 Introduzione
Definizione 2.1. Sia H uno spazio di Hilbert. Una bandiera in H è una successione di sottospazi
lineari di dimensione finita di H
{O} = H0 ⊂ H1 ⊂ · · · ⊂ Hn ⊂ Hn+1 ⊂ · · · ⊂ H,
tale che (i) dim Hn = n e (ii) la riunione
n∈N Hn è densa in H.
Osservazione 2.2. Chiaramente H e più in generale un qualsiasi spazio di Banach dotato di una
base di Schauder ammette una bandiera nel senso della definizione 2.1. Fissata una base Hilbertiana
(ei)i≥1 di H, nel seguito indicheremo con Hn il sottospazio generato dai primi n vettori della base.
Ovviamente Hn è un sottospazio chiuso di H, trattandosi infatti di un sottospazio di dimensione
finita. Denoteremo con H n la chiusura in H del sottospazio generato da {ei} i>n :
H n = Span en+j : j ∈ N + .
Si ricordi che uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è separabile se e solo se è linearmente
isometrico a ℓ 2 (teorema G.28, appendice G). Dunque, a meno che non sia altrimenti specificato
supporremo per fissare le idee che H sia ℓ 2 e che (ei)i≥1 sia la base canonica.
Osservazione 2.3. Nelle notazioni introdotte, per ogni n in N, chiaramente H = Hn ⊕ H ⊥ n . Inoltre
evidentemente H = Hn ⊕ H n e H n = H ⊥ n .
Lemma 2.4. Gli spazi H/Hn e H n sono toplinear-isomorfi.
Dimostrazione. Sia π n : H → H n il proiettore canonico, ossia la mappa avente come effetto la
“cancellazione” delle prime n coordinate. Evidentemente π n è lineare, suriettivo e continuo. Inoltre
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