Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

68 Mappe di Fredholm: teoria lineare
topologico è precompatto (sin. relativamente compatto) se la sua chiusura è compatta. L’insieme
degli operatori compatti è un sottospazio chiuso di L(X, Y ), e si indica con Lc(X, Y ).
Chiaramente, se una applicazione lineare di rango finito è continua allora essa è automaticamente
compatta, infatti, per il teorema di Heine-Borel, un insieme limitato in uno spazio vettoriale di
dimensione finita ha evidentemente chiusura compatta.
Proposizione B.3. Sia F : E ⊂ X → Y una applicazione continua. Allora sono fatti equivalenti:
(a) F è compatta;
(b) per ogni successione limitata (xh) in E, la successione F (xh) ammette una sottosuccessione
convergente in Y .
Dimostrazione. (a) ⇒ (b): Ovvio. (b) ⇒ (a): Dobbiamo provare che per ogni sottoinsieme limitato
B ⊂ E, l’immagine F (B) è compatta in Y . Sia (yh) una successione in F (B) e sia (xh) una
successione in B tale che
|F (xh) − yh | < 1
h + 1 .
Se F (xhk ) è convergente ad y in Y , si verifica facilmente che anche (yhk ) è convergente ad y.
Talvolta è conveniente tenere presente il seguente utile criterio, la cui verifica è del tutto
elementare:
Criterio B.4. Sia S un sottoinsieme di uno spazio vettoriale normato completo per cui, dato r > 0,
esista un ricoprimento finito di S costituito da palle di raggio r. Allora S è relativamente compatto.
Il seguente teorema è un importante risultato di stabilità degli operatori di semi-Fredholm per
perturbazioni compatte. La dimostrazione si può trovare ad esempio in [Lan 83], Capitolo 10
paragrafo 2; si consulti anche [Ka 80], Capitolo IV paragrafo 5 per risultati più fini sulla stabilità
degli operatori di Fredholm.
Teorema B.5. Se T ∈ ˜ Φ(X, Y ) e K ∈ Lc(X, Y ), allora T + K ∈ ˜ Φ(X, Y ) e ind (T + K) = ind (T ).
Osservazione B.6. In particolare, ogni operatore lineare su uno spazio di Banach della forma id+K,
in cui K è un operatore compatto, è Fredholm di indice zero.
Composizione di operatori di Fredholm è Fredholm, e l’indice si comporta addittivamente:
Teorema B.7 ([Lan 83] 2.8, pag. 227). Siano T in Φ(X, Y ) ed S in Φ(Y, Z). Allora S ◦ T è
un elemento di Φ(Y, Z); inoltre
ind (S ◦ T ) = ind (S) + ind (T ).
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