Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

F.3 Spray 109
in cui la penultima eguaglianza segue dal fatto che, in particolare, s è la rappresentazione locale di
un campo vettoriale del second’ordine, quindi per la F.2.3 è rs 1(x, v) = rv = s 1(x, rv). Dunque per
la F.3.3 d(r T U ) x, v, rs(x, v) = x, rv, s(x, rv) , i.e. s soddisfa la proprietà SPR 1 di spray.
Dunque s rappresenta uno spray se e solo se la sua parte principale è omogenea di grado due
rispetto alla seconda variabile, i.e. per ogni r in R, s 2(x, rv) = r 2 s 2(x, v), se e solo se –e questo
è un fatto di algebra lineare elementare– indicato con D 2 2 l’operatore di derivata seconda rispetto
alla seconda variabile,
s2(x, v) = 1
2
D
2
2s2 (v, v).
(x,0)
Segue che, in una carta, uno spray –o meglio la sua parte principale– è indotta da una applicazione
bilineare simmetrica che diremo associata allo spray, data in ogni punto da
Γ(x) = − 1
2
D
2
2s2 (x,0) .
Γ è detto anche il simbolo di Christoffel dello spray nella carta assegnata. Posto
risulta chiaramente
Γ(x; v, v) = Γ(x)(v, v),
Γ(x; v, w) = 1
s2(x, v) + s
2
2(x, w) − s2(x, v + w) . (F.3.4)
F.3.2 Formula di cambiamento di variabile per gli spray
Scopo di questa sottosezione è studiare come varia la parte principale di uno generico spray su
T M quando muta l’intorno coordinato. Se U è un sottoinsieme aperto di uno spazio di Banach E,
indichiamo come consueto la rappresentazione locale di uno spray S su T U con
sU =
sU,1, sU,2 : (x, v) ∈ U × E ↦→ sU,1(x, v), sU,2(x, v) = v, sU,2(x, v) ∈ E × E.
Sia V un sottoinsieme aperto di E e h: U → V un diffeomorfismo di U su V . Nel nuovo sistema di
coordinate determinato da h, sia s V : V × E → E × E la rappresentazione locale dello spray S.
Nel seguito, per comodità di notazione, converrà denotare l’operatore di differenziazione con la
notazione T – l’operatore tangenziale – anziché con “d”, mettendo così in risalto il suo carattere
funtoriale.
Su T U, il tangenziale di h, T h: U × E → V × E, è rappresentato da T h(x, v) = h(x), h ′ (x)(v) .
Consideriamo dunque l’ulteriore sollevamento al doppio fibrato tangente T T U, e la corrispondente
mappa
T T h: (U × E) × (E × E) → (V × E) × (E × E)
data da
T T h (x, v), (u, w) = T h(x, v), (T h) ′ (x, v)(u, w) . (F.3.5)
Schematicamente la situazione è rappresentata dal seguente diagramma:
(U × E) × (E × E)
π U×E
U × E
π U
U
s U
T T h=(T h,(T h) ′ )
T h=(h,h ′ )
(V × E) × (E × E)
π V ×E
V × E
π V
h
RAUL TOZZI
V
s V