Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.7 Prova del teorema di embedding aperto 55
è una isotopia di embedding aperti con dominio proprio I = [0, 1] (per i dettagli si faccia riferimento
all’Osservazione 2.77).
Nelle notazioni del lemma 2.70, sia Y ⊂ HN una palla chiusa di raggio sufficientemente grande
(Int(Y ) denoti quindi la corrispondente palla aperta) e r : Mn → R + una funzione continua tale che
F (I × Mn × ¯rH n ) ⊂ R × Int(Y ) × H N
(si è indicato con Mn × ¯rH n l’insieme delle coppie (x, v) ∈ Mn × H n tali che |v | ≤ r(x)). Posto
Z0 := Mn × rH n , per costruzione risulta quindi che
F N
I × Z0 ⊂ R × Int(Y ) × H .
Nelle notazioni del lemma 2.70, posto B := H N , esiste una isotopia di embedding
d: R × (Y × H N ) → R × (Y × H N )
con dominio proprio I della forma
d(t, x1, x2) =
t, δt(x1, x2), x2 ,
tale che
(i) d0 = id, i.e., d(0, x1, x2) = (0, x1, x2) per ogni (x1, x2) ∈ Y × H N ;
(ii) d 1, F0(x, v) = 1, F1(x, v) = F (1, x, v) per ogni (x, v) ∈ Mn × ¯rH n .
Precisamente osserviamo che
F0(x, v) = N N
γn x, v − λ(0)π (v) , π (v) = γn(x, v), π N (v) = gn(x, v);
inoltre
F1(x, v) =
N N N N
γn x, v − λ(1)π (v) , π (v) = γn x, v − π (v) , π (v)
=
γn x, πN(v) , π N (v) ,
quindi la condizione (ii) di cui sopra è equivalente a
d1 ◦ gn(x, v) =
γn x, πN(v) , π N (v) per ogni (x, v) ∈ Mn × H n tale che |v | ≤ r(x).
Infine, riassumendo, a meno di estendere in modo banale l’isotopia d1 a tutto R × HN × HN , a
partire dall’isotopia F si è determinata una isotopia di embedding d: R×HN ×H N → R×HN ×H N
con dominio proprio I della forma
d(t, x1, x2) =
t, δt(x1, x2), x2 ,
tale che
(i) d0 = id, e
(ii) d1 ◦ gn(x, v) =
γn x, πN(v) , πN (v) per ogni (x, v) ∈ Mn × ¯rHn.
Nella sezione 2.6 abbiamo considerato la mappa j −1
n : Un+1 × H n+1 → Mn × H n , in cui, si
ricordi,
Un+1 = Tn Mn × 1 2r
| en+1 Mn
è un intorno tubolare aperto di Mn in Mn+1 (cfr. (2.6.2)). Poiché la nostra varietà è uno spazio
topologico normale, esiste un aperto V tale che
Mn ⊂ U 0 n+1
↓
⊂ V ⊂ V ↓
⊂ Un+1 ⊂ Mn+1.
RAUL TOZZI