Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

2.1 Introduzione 23
applicazione ξ U : U → H. Similmente, se S è un fissato campo di vettori del second’ordine su M
(cfr. definizione F.1), indicheremo con S U : U × H → H × H la rappresentazione locale di S su T U:
S U (x, v) = v, s U (x, v) .
T T M loc
U × H × (H × H)
T M
loc
U × H
Id U×H ×S U
A tale proposito si ricordi che S U rappresenta uno spray se e solo se la sua parte principale
s U : U × H → H è omogenea di grado due rispetto alla seconda variabile (cfr. proposizione F.9).
Per questa ragione s U è detta anche la parte quadratica dello spray nella carta assegnata.
Siano S ed A rispettivamente uno spray ed un atlante layer su M. Consideriamo una carta locale
(V, ψ) compatibile con tutte le carte di A. Indicata con (U, ϕ) una qualsiasi carta di A, poiché (V, ψ)
e (U, ϕ) sono compatibili, identificati per semplicità di notazione U e V con le rispettive immagini in
H tramite ϕ e ψ, in accordo con la definizione 2.14 di varietà layer, esiste un diffeomorfismo h da U
su V della forma h = (I + k), in cui k è una mappa localmente di rango finito. Per la formula F.3.8
di cambiamento di variabile per la parte quadratica di uno spray (si consulti la sottosezione F.3.2
in appendice per la sua deduzione esplicita) risulta
′ ′′ ′
sV h(x), h (x)(v) = h (x)(v, v) + h (x) ◦ sU (x, v). (2.1.1)
In particolare h ′ (x) = I + k ′ (x) e h ′′ (x) = k ′′ (x). Inoltre, posto (y, w) in V × H con y = h(x) e
w = h ′ (x)(v) se e solo se v = (h−1 ) ′ (y)(w) , l’equazione 2.1.1 assume la forma
′ ′′ ′
h(x), h (x)(v) = h (x)(v, v) + h (x) ◦ sU (x, v)
s V (y, w) = s V
= k ′′ (x)(v, v) + s U (x, v) + k ′ (x) ◦ s U (x, v),
da cui si deduce che, essendo k una mappa localmente di rango finito, se s U è localmente di rango
finito allora tale è anche s V .
Definizione 2.20 (Spray layer). Sia M una varietà modellata su uno spazio di Hilbert H. Uno
spray S su M è detto uno spray layer se esiste un atlante layer A = {(Ua, ϕa)} a∈A su M tale che,
per ogni a in A, indicata con Sa la rappresentazione locale di S nella carta (Ua, ϕa),
Sa : (x, v) ∈ ϕ a(Ua) × H ↦−→ v, s a(x, v) ∈ H × H,
SL. s a : ϕ a(Ua) × H −→ H è localmente di rango finito in x
(i.e., per ogni x in ϕa(Ua) esiste x∈Ux Ux Ux ⊂ϕa(Ua) tale che sa(Ux ×H) ⊂ Hn per qualche n ∈ N).
Proposizione 2.21. Ogni H-varietà layer M ammette uno spray layer.
Dimostrazione. Indicato con A = {(Ua, ϕa)} a∈A un atlante layer su M, poiché M è supposta paracompatta,
senza ledere la generalità, a meno di un raffinamento possiamo supporre che {Ua} a sia un
ricoprimento localmente finito di M: sia {µa} una partizione dell’unità di classe C∞ subordinata a
{Ua} a. Nelle notazioni della definizione 2.20, per ogni a in A lo spray banale Sa su ϕa(Ua) definito
ponendo
Sa : (x, v) ∈ ϕa(Ua) × H ↦−→ Sa(x, v) : def
= v, O ∈ H × H
è certamente layer. Incolliamo dunque spray banali siffatti secondo la partizione dell’unità {µa}
ottenendo così una mappa globale S : T M → T (T M). La mappa così ottenuta è invero uno spray,
infatti la collezione di tutti gli spray costituisce un insieme convesso, dunque in ogni punto della
varietà la somma che definisce S è uno spray perché combinazione convessa di spray. Più precisamente,
S è uno spray layer, infatti la somma che definisce S è localmente finita, i.e. nell’intorno di
ogni punto di M solo un numero finito di addendi è non nullo, e poiché ciascuno di essi soddisfa la
condizione SL anche la loro somma soddisfa certamente SL.
RAUL TOZZI