Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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16 Fenomeni della dimensione infinita coincide evidentemente con g. Esibiremo nel seguito due omotopie che deformeranno successivamente attraverso elementi di GL ogni elemento g ∈ V in c (g) = id idH H ∈ GL. Precisamente, definiremo una prima omotopia da g = h a h ′ , in cui h ′ è data dalla matrice infinita ⎧ h ⎪⎨ ⎪⎩ ′ ij = 0 h se i = j, ′ 2i,2i = g−1 1 se i ≥ 1, h ′ 2i+1,2i+1 = g1 se i ≥ 1, h ′ 11 = g1 e quindi definiremo una seconda omotopia da h ′ a h ′′ , essendo ⎧ ⎪⎨ h ⎪⎩ ′′ ij = 0 se i = j, h ′′ −1 2i−1,2i−1 = g1g1 = 1 se i ≥ 1, se i ≥ 1, h ′′ 2i,2i i.e., h ′ = g 1, g −1 1 , g 1, g −1 1 , g 1, . . . i.e., h ′′ = g 1g −1 1 , 1, g 1g −1 1 , 1, g 1g −1 1 , . . . = [1, 1, 1, 1, 1, . . .]. Una omotopia da h a h ′ è la seguente, applicata ad ogni coppia di elementi consecutivi della diagonale di h (gli altri essendo tutti zero) a partire dal secondo elemento: −1 cos θ − sin θ g1 0 cos θ sin θ g θ ∈ [0, π/2] ↦−→ 1 0 . (1.6.2) sin θ cos θ 0 1 − sin θ cos θ 0 1 La mappa 1.6.2 realizza una omotopia tra [g −1 1 g1, 1] (θ = 0) e [g −1 1 , g1] (θ = π/2). Infatti, quando θ varia in [0, π/2], cos θ − sin θ g1 0 sin θ cos θ 0 1 va da g1 0 0 −1 0 1 a g1 0 . Così, quando θ va da 0 a π/2, cos θ − sin θ g1 0 cos θ sin θ sin θ cos θ 0 1 − sin θ cos θ va da g1 0 1 0 0 1 a 0 g1 . Si deduce quindi che per θ in [0, π/2], (1.6.2) realizza una omotopia tra −1 −1 g1 g1 0 g e 1 0 . 0 1 0 g1 È facile dimostrare che gli operatori lineari che deformano h in h ′ al variare di θ in ]0, π/2[ sono tutti continui. Inoltre è standard riparametrizzare questa trasformazione, parametrizzata da 0 a π/2, in una usuale omotopia parametrizzata tra 0 e 1. Allo stesso modo si determina una omotopia da h ′ a h ′′ , stavolta applicata ad ogni coppia di elementi consecutivi della diagonale di h ′ , a partire dal primo: cos θ − 1 θ ∈ [0, π/2] ↦−→ 1 − sin θ −1 sin θ − 1 g1 cos θ − 1 0 0 cos θ − 1 1 sin θ − 1 1 − sin θ g1 cos θ − 1 0 0 . 1 (1.6.3) La mappa 1.6.3 realizza una omotopia tra [g1, g −1 1 ] (θ = 0) e [1, 1] (θ = π/2). Come prima, si dimostra facilmente che gli operatori lineari che deformano h ′ in h ′′ al variare di θ in ]0, π/2[ sono tutti continui; inoltre si può riparametrizzare questa trasformazione in una usuale omotopia parametrizzata tra 0 e 1. Riassumendo, abbiamo deformato successivamente g = [g1, 1, 1, 1, 1, . . .] = h = g1, g −1 1 g1, 1, g −1 1 g1, 1, . . . in h ′ = g 1, g −1 1 , g 1, g −1 1 , g 1, . . . IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
1.6 Il gruppo generale lineare di uno spazio di Hilbert 17 con una prima omotopia, e quindi abbiamo deformato nell’identità h ′ = g 1, g −1 1 , g 1, g −1 1 , g 1, . . . h ′′ = g 1g −1 1 , 1, g 1g −1 1 , 1, g 1g −1 1 , . . . = [1, 1, 1, 1, 1, . . .] con una seconda omotopia. Segue che ι V e c idH sono omotope, come desiderato. Come già detto, il teorema 1.37 di Kuiper è una conseguenza del teorema 1.38. Viceversa, si osservi che il teorema 1.38 è interamente riassorbito dal più generale teorema di Kuiper: infatti da quest’ultimo segue in particolare che ogni mappa f : V → GL è omotopa a una mappa costante. Può essere interessante consultare l’appendice 3 dell’articolo [AS 03] di Atiyah-Segal per l’esposizione di una possibile generalizzazione del teorema di Kuiper. RAUL TOZZI
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