Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

106 Spray
Si osservi che la composizione ha senso, infatti dπ : T (T M) → T M applica il doppio fibrato
tangente T (T M) nel fibrato tangente T M, come esplicato dal seguente diagramma:
T (T M)
F
T (T M)
dπ
T M T M
Definizione F.2. Dato un campo di vettori del second’ordine F , una curva integrale per F con
condizione iniziale v è una curva β : J → T M che applica un intervallo aperto J di R (contenente
0) in T M, tale che β(0) = v e β ′ (t) = F β(t) per ogni t in J.
Proposizione F.3. Un campo di vettori F : M → T M è un campo di vettori del second’ordine
su M se e solo se esso ogni curva integrale β di F coincide col sollevamento canonico (πβ) ′ della
proiezione canonica πβ di β su M, i.e. (πβ) ′ = β.
Dimostrazione. La prova è una conseguenza immediata delle definizioni, infatti, presa comunque
una curva integrale β di F , si ha che
(πβ) ′ = dπ ◦ β ′ = dπ ◦ F ◦ β = (dπ ◦ F ) ◦ β = β ⇐⇒ dπ ◦ F = id.
Definizione F.4 (Geodetica). Sia α: J → M una curva in M, definita su un intervallo J ⊂ R.
Diremo che α è una geodetica rispetto a F se la curva α ′ : J → T M è una curva integrale per F .
Osservazione F.5. Poiché πα ′ = α, possiamo esprimere equivalentemente la condizione di geodetica
richiedendo che α soddisfi la relazione α ′′ = F (α ′ ). Questa relazione per la curva α è detta
un’equazione differenziale del second’ordine per α determinata da F .
Si osservi inoltre che se β : M → T M è una curva integrale per F , allora πβ è una geodetica
per il campo vettoriale del second’ordine F .
F.2.1 Rappresentazione locale di un campo del second’ordine
Sia (V, ϕ) una carta di M e ϕ(V ) = U il corrispondente sottoinsieme aperto dello spazio di Banach
E, quindi T U = U × E e T (T U) = T U × T E = (U × E) × (E × E). Allora la rappresentazione di
π : T M → M nella carta data è semplicemente la proiezione π : U × E → U. Abbiamo il seguente
diagramma commutativo:
La mappa dπ è data da
(U × E) × (E × E)
U × E π
dπ
U × E
Ogni campo vettoriale su U × E ha una rappresentazione locale
U
dπ(x, v, u, w) = (x, u). (F.2.2)
f : U × E → E × E
che ha perciò due componenti, f = (f1, f2), in cui f1, f2 : U × E → E. La prossima proposizione
fornisce una descrizione dei campi vettoriali del second’ordine in una carta assegnata.
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