Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

72 Geometria differenziale in dimensione infinita
Infatti, essendo f un embedding aperto si ha in particolare che f : M → N è una mappa aperta,
infatti, siccome f è un embedding, in particolare f : M → Z := f(M) è un omeomorfismo, dunque
U ⊂ M è aperto sse f(U) ⊂ Z = f(M) è aperto; inoltre poiché f(M) ⊂ N è aperto, da quanto si
è appena osservato segue che U ⊂ M è aperto solo se f(U) ⊂ N è aperto, donde f è una mappa
aperta.
Dunque, in particolare, ogni rappresentazione di f nelle carte locali di M ed N è chiaramente una
mappa aperta.
D’altra parte, siccome f è un embedding f è un’immersione in ogni punto di M, quindi (cfr.
[Bou3 89]) per ogni fissato x in M esistono carte (U, ϕ) e (V, ψ) con x ∈ U, f(U) ⊂ V , ϕ: U → U ′ ,
ψ : V → U ′ ×V ′ tale che la rappresentazione di f nelle carte ϕ e ψ, fϕψ : U ′ → U ′ ×V ′ è l’inclusione
u ↦→ (u, 0). Ora u ↦→ (u, 0) è una mappa aperta solo se U ′ × {0} è aperto in U ′ × V ′ , se e solo se
V ′ = {0}.
Dunque, localmente nelle carte di M ed N, f è l’identità e quindi il suo differenziale in ogni
punto è banalmente surgettivo.
Proposizione C.21 ([Lan 01] Capitolo 2, paragrafo 2). Una immersione iniettiva che sia
una mappa aperta o chiusa sulla sua immagine è un embedding.
Definizione C.22. Siano M ed N varietà ed f : M → N una applicazione di classe C ∞ . Un
punto p ∈ N è detto un valore regolare di f se per ogni q ∈ f −1 (p), dfq è surgettivo ed il suo
nucleo è complementato. Denoteremo con Rf l’insieme dei valori regolari di f : M → N; si noti
che N \ f(M) ⊂ Rf ⊂ N. In particolare, p ∈ Rf se e solo se f è una sommersione su f −1 (p). Se
dfq non è surgettivo, q ∈ M è detto un punto critico e p = f(q) ∈ N un valore critico di f.
Definizione C.23 (Trasversalità: categoria Vett-Top). Siano E ed F spazi di Banach, F0 ⊂ F
un sottospazio chiuso e A ∈ L(E, F ). Diremo che A è trasversa a F0 e scriveremo A ⋔ F0, se
l’immagine inversa A −1 (F0) è complementata in E e A(E) + F0 = F .
Spesso è comodo tenere presenti le seguenti proprietà elementari: A è trasversa a F0 se e solo
se, indicata con π : F → F/F0 la proiezione, π ◦ A ∈ L(E, F/F0) è surgettivo ed il suo nucleo è
complementato; se π ◦ A ∈ L(E, F/F0) è surgettivo e F0 ha codimensione finita, allora ker(π ◦ A)
ha la stessa codimensione e A è trasversa a F0; se π ◦ A ∈ L(E, F/F0) è surgettiva e se ker A e F0
sono finito dimensionali, allora ker(π ◦ A) ha dimensione finita e A è trasversa a F0 (per convincersi
di questa proprietà si consideri la successione esatta 0 −→ ker A → ker(π ◦ A) → F0 ∩ A(E) −→ 0).
Definizione C.24 (Trasversalità: categoria Difftop). Una mappa f : M → N di classe C ∞
è trasversa ad una sottovarietà W di N (ed in tal caso scriveremo f ⋔ W ) se per ogni p ∈ M tale
che f(p) ∈ W risulta dfp ⋔ T f(p)W , (dfp ∈ L TpM, T f(p)N , T f(p)W ⊂ T f(p)N), ossia, in virtù
della definizione C.23 precedente, l’immagine inversa (dfp) −1 (T f(p)W ) è complementata in TpM e
dfp(TpM) + T f(p)W = T f(p)N.
Si osservi che se M è una varietà di Hilbert, oppure se M è di dimensione finita, in virtù
dell’osservazione C.12, la condizione sulla complementabilità è automaticamente soddisfatta.
Proposizione C.25 ([Lan 01] Capitolo 2, paragrafo 2). Siano M, N varietà di classe C ∞
modellate su spazi di Banach. Sia f : M → N una applicazione di classe C ∞ e W una sottovarietà
di N. La mappa f è trasversa a W se e solo se per ogni x ∈ M tale che f(x) appartiene a W , il
prodotto di composizione
è surgettivo ed il suo nucleo è complementato.
TxM dfx
−−→ Tf(x)N −→ Tf(x)N Tf(x)W La seguente generalizzazione del teorema di Sard dovuta a Smale è la pietra angolare della
moderna teoria differenziale delle mappe di Fredholm.
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