Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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118 Analisi funzionale lineare Definizione G.24. In uno spazio di Hilbert chiameremo base di Hilbert oppure base ortonormale un sistema ortonormale completo. Riassumendo, una famiglia di vettori (ei)i∈I di uno spazio di Hilbert è una base ortonormale se e solo se BO 1. 〈ei, ej〉 = δij, in cui δij è il simbolo di Kronecker, e BO 2. per ogni i in I, 〈x, ei〉 = 0 implica x = 0. Si osservi esplicitamente che una base ortonormale non è necessariamente una “base” nel senso dell’algebra astratta, non è vero cioè che ogni elemento dello spazio è una combinazione lineare di un numero finito di elementi di una base di Hilbert. Gli spazi di Hilbert con una base ortonormale numerabile sono precisamente gli spazi di Hilbert di dimensione infinita separabili: Teorema G.25. Uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è separabile se e solo se ammette una base ortonormale numerabile. In questo caso, ogni base ortonormale dello spazio è numerabile. Osservazione G.26. Due spazi di Hilbert sono toplinear-isomorfi, equivalentemente unitariamente isomorfi, se e solo se hanno sistemi ortonormali completi della stessa cardinalità: infatti ogni isomorfismo unitario trasforma biiettivamente un sistema ortonormale completo di uno spazio in un sistema ortonormale completo dell’altro, ed inversamente ogni biiezione di sistemi ortonormali completi si estende ad un isomorfismo unitario tra gli spazi. Escluso il caso di dimensione finita, la cardinalità di un sistema ortonormale completo coincide con il carattere di densità dello spazio, ossia con la minima cardinalità di un sottoinsieme (topologicamente) denso nello spazio. Nel caso di dimensione finita, naturalmente la dimensione è anche la cardinalità di un base ortonormale. Dato che per ogni cardinale finito n ed ogni cardinale infinito α si ha n+α = α, in uno spazio di Hilbert H di dimensione infinita ogni sottospazio V di codimensione finita è unitariamente isomorfo e quindi, in particolare, toplinear-isomorfo ad H stesso. Infatti, se W è il supplementare ortogonale di V , con dim W = n, ed u1, . . . , un è una base ortonormale di W , prendiamo un sistema ortonormale completo {uι : ι ∈ I} di V , con Card (I) = α, α carattere di densità di V , necessariamente infinito; allora {u1, . . . , un} ∪ {uι : ι ∈ I} è un sistema ortonormale completo di H, di cardinale n + α = α. Un isomorfismo unitario di H su V si trova usando una biiezione di {1, . . . , n} ∪ I su I (si suppone che I ∩ {1, . . . , n} = ∅); a sua volta tale biiezione in genere si stabilisce così: si fissa un’iniezione k ↦→ ι(k) di {1, 2, 3, . . .} in I, iniezione che esiste perché I è infinito; detta A l’immagine di tale iniezione, si definisce η di {1, . . . , n} ∪ I su I nel modo seguente: η(j) = ι(j) per j ∈ {1, . . . , n}; η(ι(k)) = ι(k + n) per ogni k ∈ {1, 2, 3, . . .}; η(ι) = ι se ι ∈ I \ A (si noti che l’insieme I \ A non viene toccato, quindi è come se stessimo lavorando in un sottospazio separabile). Tale biiezione η si estende ad un isomorfismo unitario di H su V , isomorfismo che è essenzialmente uno shift applicato n volte. In generale, dato uno spazio di Hilbert H, ed una sua decomposizione H = V ⊥ ⊕ W in somma diretta ortogonale di due suoi sottospazi, H è unitariamente isomorfo ad uno almeno dei due: basta ricordare che una somma di due cardinali, uno almeno dei quali infinito, coincide con il più grande fra i due. Diremo che un operatore lineare L: H1 → H2 tra due spazi di Hilbert preserva il prodotto scalare se 〈Lx, Ly〉 = 〈x, y〉 per ogni x, y ∈ H1. Il seguente lemma è una conseguenza immediata del noto risultato secondo cui una norma su uno spazio vettoriale è hilbertiana se e solo se soddisfa l’uguaglianza del parallelogramma: Lemma G.27. Un operatore lineare L: H1 → H2 tra due spazi di Hilbert preserva la norma (i.e. è una isometria) se e solo se preserva il prodotto scalare. In uno spazio di Hilbert separabile, scelto un sistema ortonormale completo (ei), ogni vettore x in H si scrive in modo unico come x = xiei. Questa identificazione induce un isomorfismo di spazi di Hilbert da H su ℓ 2 in cui si corrispondono x e {xi}. Innanzitutto, detta mappa è ben definita ed è un’isometria perché |xi| 2 = |x| 2 . La mappa è iniettiva per l’unicità dei coefficienti IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
G.3 Piega in dimensione infinita 119 di Fourier, ed è suriettiva in quanto, per ogni elemento (xi) di ℓ 2 risulta |xi| 2 < ∞, dunque la formula x := xiei definisce un elemento di H. Chiaramente questo isomorfismo non è naturale infatti richiede la scelta di una base. Teorema G.28. Uno spazio di Hilbert H di dimensione infinita è separabile se e solo se è linearmente isometrico a ℓ 2 . Infine, ricordiamo il seguente utile risultato in analisi di Fourier, per la cui dimostrazione rimandiamo a [Fo 99], pag. 241. Teorema G.29. Siano p e q esponenti coniugati, f in L p e g in L q . Allora f ∗ g(x) esiste per ogni x, f ∗ g è limitato e uniformemente continuo, e |f ∗ g | ∞ ≤ |f | p |g | q. Se 1 indi anche 1 < q < ∞), allora f ∗ g si annulla all’infinito (anche se né f, né g tendono a 0 all’infinito). Esempio G.30. Proviamo a titolo di esempio, senza fare ricorso alla teoria della convoluzione, che ∀ g ∈ L 2 (R), lim x→+∞ +∞ −∞ e −(x−t)2 g(t) dt = 0. Si osservi che se g ∈ L1 (R) allora la maggiorante sommabile dell’integrando è |g| stessa, è ovvio infatti che si ha |e−(x−t)2g(t)| ≤ |g(t)| per ogni x, t ∈ R. Quindi, se g ∈ L1 (R) si conclude subito che limx→±∞ G∗g(x) = 0, in virtù del teorema di Lebesgue sulla convergenza dominata. Scriviamo ora G∗g(x) +∞ = e −(x−t)2 g(t)dt ≤ +∞ e −(x−t)2 +∞ −(x−t) |g(t)|dt = e 2 /2 e −(x−t)2 /2 |g(t)| dt −∞ −∞ (x−t)2 (x−t)2 − e applichiamo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz alle funzioni t ↦→ e 2 − , t ↦→ e 2 |g(t)| ottenendo +∞ G ∗ g(x) ≤ e −∞ −(x−t)2 1/2 +∞ dt e −∞ −(x−t)2 |g(t)| 2 1/2 dt = π 1/4 G ∗ |g| 2 (x) 1/2 . Per quanto appena visto si ha limx→±∞ G ∗ |g| 2 (x) = 0 dato che |g| 2 ∈ L 1 (R). G.3 Piega in dimensione infinita Proposizione G.31. Sia X uno spazio di Banach dotato di una base di Schauder (ei)i≥1. Allora esiste una mappa propria non surgettiva di classe C ∞ di X in X Fredholm di indice zero. Dimostrazione. Si indichi con x il generico elemento di X e con (xi) i∈N + le coordinate di x rispetto a (ei) i∈N +. Identifichiamo gli elementi di X con le coordinate rispetto alla base di Schauder (ei) i∈N +. Si consideri la mappa −∞ f : (xi) i∈N + ∈ X ↦−→ x 2 1, (xi)i≥2 ∈ X. Allora chiaramente si tratta di una mappa non surgettiva. Verifichiamo che f è una applicazione propria: vediamo la f come decomposta nell’identità sugli elementi di X del tipo (0, x2, x3, . . .) sommata alla funzione x1 ↦→ x 2 1. Più precisamente, sia x = (x1, x2, . . .) = (x1, 0, . . .) + (0, x2, x3, . . .) =: x1e + y ∈ X, in cui si è posto x1e := (x1, 0, . . .) e y := (0, x2, x3, . . .). Allora f(x) = x 2 1e + y. Se K è un compatto di X, sia (x (h) )h una successione in f −1 (K): dobbiamo provare che (x (h) )h ammette una sottosuccessione convergente a un punto di f −1 (K). Si ha (x (h) )h = the + y (h) h e RAUL TOZZI
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Università degli Studi di Pisa Fac
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Notazioni Notazioni di uso corrente
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2 Fenomeni della dimensione infinit
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10 Fenomeni della dimensione infini
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Capitolo 2 Embedding aperti di vari
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2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
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2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
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2.2 Mappe di Fredholm di indice zer
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2.3 Filtrazioni di Fredholm 33 Nell
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2.4 Filtrazioni di Fredholm totalme
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2.6 Raffinamento delle tecniche lay
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2.6 Raffinamento delle tecniche lay
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