Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

D.5 Unicità ed estensione degli intorni tubolari 93
Passo 2. Fissato k ∈ R + , sia k ′ > k arbitrario. In accordo col teorema D.9, esiste un intorno
tubolare ϕ: X × R N−n → R N di h(X) in R N (cfr. definizione D.6), tale che
Consideriamo la composizione
e scriviamo
g U × k ′ R N−n ⊂ ϕ X × R N−n .
ϕ −1 ◦ g : U × k ′ R N−n −→ X × R N−n ,
ϕ −1 ◦ g(x, v) = ξ(x, v), η(x, v) .
Denotata con p: X × R N−n → R N−n la proiezione sul secondo fattore, per ogni (x, v) ∈ V × R N−n
D 2η(x, O)[v] := d η(x, · )
O [v] = p ◦ d(ϕ−1 ) g(x,O) ◦ d g(x, · )
O [v]
= p ◦ d(ϕ −1 ) g(x,O) ◦ β1(x, v).
(D.5.8)
Specificatamente d η(x, · )
O ∈ GL(RN−n ), inoltre, per il Passo 1, poiché β1 è definita globalmente,
D2η si estende ad una mappa definita su X a valori in GL(RN−n ) (infatti (dϕ−1 ◦ dh)(T X) = T X.)
Segue che, in virtù del teorema di isotopia per gli intorni tubolari (cfr. [Hir 94], [Wa 60]), la
mappa
si estende ad un intorno tubolare di X
ϕ −1 ◦ g| U 0×k R N−n −→ X × R N−n
f : X × R N−n −→ X × R N−n ;
inoltre possiamo certamente scegliere la mappa tubolare f isotopa alla mappa
(x, v) ↦−→ x, p ◦ d(ϕ −1 ) g(x,O) ◦ β1(x, v) .
Passo 3. Sia G := ϕ ◦ f : X × R N−n −→ R N una estensione di g| U 0×k R N−n. Allora
(i) G è un intorno tubolare di h(X) in R N ;
(ii) indicato con d 2 l’operatore di differenziazione parziale rispetto alla seconda variabile,
Si osservi che f è isotopa alla mappa
d 2G| T (X×R N−n )X×{O} = dϕ ◦ (d 2f)| T (X×R N−n )X×{O} .
(x, v) ↦−→ x, p ◦ d(ϕ −1 ) g(x,O) ◦ β1(x, v) ,
e quindi il differenziale parziale d 2f è isotopo a (x, v, u) ↦→ x, v, p ◦ d(ϕ −1 ) g(x,0) ◦ β1(x, u) . Si
conclude che dϕ ◦ d 2f è isotopo alla mappa (x, v, u) ↦→ h(x), β1(x, u) . Poiché ϕ ◦ f| X×{O} = h,
indicato con d 1 l’operatore di differenziazione parziale rispetto alla prima variabile, d 1G = dh su
X × {O}. Segue che dG| T (X×R N−n )X×{O} è isotopo a β, il quale è a sua volta isotopo ad α. Si
conclude quindi che G soddisfa le richieste della proposizione.
RAUL TOZZI