Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

Prefazione
L’obiettivo principale di questa tesi è quello di approfondire un importante risultato in analisi globale
nell’ambito delle varietà di dimensione infinita: il teorema di embedding aperto di Eells-Elworthy.
Esso asserisce che ogni varietà di Banach di dimensione infinita, parallelizzabile, separabile può
essere realizzata con un embedding di classe C ∞ come un sottoinsieme aperto del suo spazio modello.
Particolare attenzione sarà rivolta al caso delle varietà modellate su uno spazio di Hilbert separabile,
essendo questo l’ambito preferenziale di applicazione del teorema sopra citato. Saranno fornite
alcune modifiche, chiarificazioni e semplificazioni alla dimostrazione originale del teorema e suggeriti
alcuni spunti per strategie dimostrative alternative frutto delle più moderne tecniche analitiche e
topologiche.
Il teorema di embedding aperto di Eells-Elworthy sarà contestualizzato nel cosiddetto periodo
d’oro della teoria topologica dell’immersione, quel periodo che va dal 1959 al 1973, in cui la teoria
dell’immersione e più in generale l’analisi globale ricevettero fondamentali contributi da parte di
numerosi matematici (quali C. Bessaga, D. Burghelea, J. Eells, D. Elworthy, N. Kuiper, R. Palais, S.
Smale, per citarne solo alcuni), le cui idee confluirono in altrettanti articoli di ricerca (come [Be 66],
[Ku-Bu 69], [Ee 67], [Pa 66], [Sm 59]). A partire dagli anni settanta del secolo scorso, l’analisi
globale è stata soggetta ad un interesse sempre crescente, lo stimolo essendo parzialmente dovuto ai
rapidi sviluppi nella teoria degli operatori differenziali, dei sistemi dinamici, allo studio degli spazi
di applicazioni e dei gruppi di trasformazioni, e delle varietà di dimensione infinita. D’altra parte un
forte impulso alla ricerca in questo campo deriva dalle applicazioni reali o potenziali ad una svariata
gamma di soggetti. Le applicazioni alla teoria dei campi (problemi della quantizzazione dei campi
gravitazionali), alla teoria della relatività (spazi di soluzioni per le equazioni di campo di Einstein)
e alla meccanica quantistica sono ben note. Più recentemente, l’analisi globale si è mostrata di
interesse anche in campo ingegneristico, in particolare per lo studio della stabilità strutturale, delle
singolarità in fluidodinamica e nella fisica dei plasmi.
In questo contesto particolarmente vitale ho deciso di intraprendere l’analisi attenta della prova
originale del teorema di Eells-Elworthy [Ee-El 70], guidato dalla necessità di rendere un poco più
accessibile, diretta e attuale la dimostrazione originale e di migliorare ove possibile alcuni passaggi
con costruzioni il più possibile geometriche e tangibili. D’altra parte, la letteratura matematica non
contiene migliorie alla dimostrazione originale di Eells-Elworthy, se non una sua possibile estensione
al caso delle varietà con bordo [Ro 94].
Scendendo un poco più nel dettaglio, pur rimanendo sempre a livello informale, una varietà
Riemanniana di dimensione infinita è una varietà liscia modellata su uno spazio di Hilbert infinito
dimensionale, tale che lo spazio tangente in ciascun punto è dotato di un prodotto scalare la cui
dipendenza dal punto è di classe C ∞ . Una tale varietà può essere considerata uno spazio metrico
definendo come distanza tra due punti l’estremo inferiore delle lunghezze delle curve differenziabili
che li uniscono; una varietà Riemanniana è completa se è completa con questa metrica. La geometria
differenziale locale delle varietà Riemanniane si sviluppa esattamente nello stesso modo come
nel caso finito dimensionale: in particolare si può definire un’unica derivata covariante e ottenere
così le nozioni di tensore di curvatura, geodetica, curvatura sezionale. Tuttavia, per la geometria
differenziale globale delle varietà la situazione è sensibilmente diversa, la ragione principale essendo
che la completezza non implica, come nel caso finito dimensionale, che due dati punti possono essere
v