Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

118 Analisi funzionale lineare
Definizione G.24. In uno spazio di Hilbert chiameremo base di Hilbert oppure base ortonormale
un sistema ortonormale completo. Riassumendo, una famiglia di vettori (ei)i∈I di uno spazio di
Hilbert è una base ortonormale se e solo se
BO 1. 〈ei, ej〉 = δij, in cui δij è il simbolo di Kronecker, e
BO 2. per ogni i in I, 〈x, ei〉 = 0 implica x = 0.
Si osservi esplicitamente che una base ortonormale non è necessariamente una “base” nel senso
dell’algebra astratta, non è vero cioè che ogni elemento dello spazio è una combinazione lineare di
un numero finito di elementi di una base di Hilbert.
Gli spazi di Hilbert con una base ortonormale numerabile sono precisamente gli spazi di Hilbert
di dimensione infinita separabili:
Teorema G.25. Uno spazio di Hilbert di dimensione infinita è separabile se e solo se ammette una
base ortonormale numerabile. In questo caso, ogni base ortonormale dello spazio è numerabile.
Osservazione G.26. Due spazi di Hilbert sono toplinear-isomorfi, equivalentemente unitariamente
isomorfi, se e solo se hanno sistemi ortonormali completi della stessa cardinalità: infatti ogni isomorfismo
unitario trasforma biiettivamente un sistema ortonormale completo di uno spazio in un
sistema ortonormale completo dell’altro, ed inversamente ogni biiezione di sistemi ortonormali completi
si estende ad un isomorfismo unitario tra gli spazi. Escluso il caso di dimensione finita, la
cardinalità di un sistema ortonormale completo coincide con il carattere di densità dello spazio, ossia
con la minima cardinalità di un sottoinsieme (topologicamente) denso nello spazio. Nel caso di
dimensione finita, naturalmente la dimensione è anche la cardinalità di un base ortonormale. Dato
che per ogni cardinale finito n ed ogni cardinale infinito α si ha n+α = α, in uno spazio di Hilbert H
di dimensione infinita ogni sottospazio V di codimensione finita è unitariamente isomorfo e quindi,
in particolare, toplinear-isomorfo ad H stesso. Infatti, se W è il supplementare ortogonale di V ,
con dim W = n, ed u1, . . . , un è una base ortonormale di W , prendiamo un sistema ortonormale
completo {uι : ι ∈ I} di V , con Card (I) = α, α carattere di densità di V , necessariamente infinito;
allora {u1, . . . , un} ∪ {uι : ι ∈ I} è un sistema ortonormale completo di H, di cardinale n + α = α.
Un isomorfismo unitario di H su V si trova usando una biiezione di {1, . . . , n} ∪ I su I (si suppone
che I ∩ {1, . . . , n} = ∅); a sua volta tale biiezione in genere si stabilisce così: si fissa un’iniezione
k ↦→ ι(k) di {1, 2, 3, . . .} in I, iniezione che esiste perché I è infinito; detta A l’immagine di tale
iniezione, si definisce η di {1, . . . , n} ∪ I su I nel modo seguente: η(j) = ι(j) per j ∈ {1, . . . , n};
η(ι(k)) = ι(k + n) per ogni k ∈ {1, 2, 3, . . .}; η(ι) = ι se ι ∈ I \ A (si noti che l’insieme I \ A non
viene toccato, quindi è come se stessimo lavorando in un sottospazio separabile). Tale biiezione η si
estende ad un isomorfismo unitario di H su V , isomorfismo che è essenzialmente uno shift applicato
n volte.
In generale, dato uno spazio di Hilbert H, ed una sua decomposizione H = V ⊥ ⊕ W in somma
diretta ortogonale di due suoi sottospazi, H è unitariamente isomorfo ad uno almeno dei due: basta
ricordare che una somma di due cardinali, uno almeno dei quali infinito, coincide con il più grande
fra i due.
Diremo che un operatore lineare L: H1 → H2 tra due spazi di Hilbert preserva il prodotto scalare
se 〈Lx, Ly〉 = 〈x, y〉 per ogni x, y ∈ H1.
Il seguente lemma è una conseguenza immediata del noto risultato secondo cui una norma su uno
spazio vettoriale è hilbertiana se e solo se soddisfa l’uguaglianza del parallelogramma:
Lemma G.27. Un operatore lineare L: H1 → H2 tra due spazi di Hilbert preserva la norma (i.e.
è una isometria) se e solo se preserva il prodotto scalare.
In uno spazio di Hilbert separabile, scelto un sistema ortonormale completo (ei), ogni vettore
x in H si scrive in modo unico come x = xiei. Questa identificazione induce un isomorfismo
di spazi di Hilbert da H su ℓ 2 in cui si corrispondono x e {xi}. Innanzitutto, detta mappa è ben
definita ed è un’isometria perché |xi| 2 = |x| 2 . La mappa è iniettiva per l’unicità dei coefficienti
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