Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

D.5 Unicità ed estensione degli intorni tubolari 91
Traccia della dimostrazione. Osserviamo che f(X) e g(X1) sono intorni aperti di N in M. Sia
U = f −1 f(X) ∩ g(X1) e ϕ: X → U un diffeomorfismo (un tale ϕ esiste perché per ipotesi X è
comprimibile). Posto ψ := f| U ◦ ϕ, allora ψ è un intorno tubolare, e ψ(X) è contenuto in g(X1).
Si osservi che, nelle notazioni della proposizione D.16 precedente, g −1 ψ : X → X1 giuoca lo stesso
ruolo di f : X → X1. Segue che, per la sopra citata proposizione, esiste una isotopia di intorni
tubolari di X, Gt : X → X1, tale che G1 = g −1 ψ e G0 è un isomorfismo di fibrati vettoriali. Posto
ψt := gGt, ψt : X → M è una isotopia di intorni tubolari tale che ψ1 = ψ e ψ0 = gω, in cui
ω : X → X1 è un isomorfismo di fibrati vettoriali.
Dunque abbiamo dimostrato che esiste una isotopia di intorni tubolari, per cui, in particolare,
gli intorni tubolari ψ e gω sono isotopi. Similmente si dimostra che ψ e fµ sono isotopi, in cui
µ: X → X è un qualche isomorfismo di fibrati.
Invocando l’osservazione D.13, si ottiene quindi una isotopia Ft di intorni tubolari da gω a fµ.
Infine, per l’osservazione D.14, Ftµ −1 è ancora una isotopia di intorni tubolari da gωµ −1 a f, e la
dimostrazione è conclusa scegliendo λ := ωµ −1 .
Chiaramente c’è un enunciato analogo nel caso dei fibrati vettoriali Hilbertiani:
Teorema D.18. Sia N una sottovarietà di M. Siano π : X → N e π1 : X1 → N due fibrati di
Hilbert. Assumiamo che X sia comprimibile. Siano f : X → N e g : X1 → M due intorni tubolari
di N in M. Allora esiste una isotopia
ft : X → M
di intorni tubolari con dominio proprio [0, 1] ed esiste un isomorfismo di fibrati di Hilbert µ: X → X1
tale che f1 = f e f0 = gµ.
Dimostrazione. La dimostrazione ricalca nella sostanza la prova del teorema D.17.
D.5.2 Un teorema di estensione dell’intorno tubolare
Presentiamo nel seguito un teorema di estensione dell’intorno tubolare in dimensione finita. Si
tratta di un risultato interessante perché oltre a sfruttare le nozioni e le metodologie dimostrative
introdotte in questa appendice, esso si rivela particolarmente utile nella parte finale della dimostrazione
del lemma 2.75, permettendo di semplificare notevolmente la dimostrazione del teorema
di embedding aperto.
Teorema D.19. Sia X una varietà compatta senza bordo di dimensione n e U0, U sottoinsiemi
aperti di X con U 0 ⊂ U. Sia R N uno spazio euclideo di dimensione N con N sufficientemente
grande, e h: X → R N un embedding per il quale h|U : U → R N si estenda ad un embedding aperto
g : U × R N−n → R N in modo che h ∪ g : X ∪ (U × R N−n ) −→ R N sia un embedding. Supponiamo
inoltre che la restrizione di dg : T (U × R N−n ) → T R N a T (U × R N−n ) U×{O},
dg| T U×R N−n : T U × R N−n → R N × R N
si estenda ad un isomorfismo α da T (X × R N−n ) X×{O} su h(X) × R N ,
α: T X × R N−n → h(X) × R N . (D.5.4)
Allora, per ogni k ∈ R + , indicata con kRN−n la palla aperta di RN−n di raggio k e centro l’origine,
la mappa
g| U N−n : U
0×kR
0 × kR N−n → R N
(D.5.5)
si estende ad un intorno tubolare
G: X × R N−n → R N
RAUL TOZZI
(D.5.6)