Immersioni aperte in dimensione infinita - Dipartimento di Matematica

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114 Analisi funzionale lineare Siano E, G spazi di Banach e ϕ in L(E, G). Allora chiaramente l’immagine ϕ(E) di E mediante ϕ è un sottospazio di G, non necessariamente chiuso. Sia F il nucleo di ϕ. Dunque abbiamo l’usuale mappa lineare E/F → G indotta da ϕ, specificatamente, la mappa definita da x + F ↦→ ϕ(x) = ϕ(x + F ). Si tratta di una mappa continua, infatti esiste una costante C > 0 tale che per ogni x in E risulta |ϕ(x)| ≤ C |x + F |. Siccome ϕ(x) = ϕ(x + y) per ogni y in F , segue che (∀ y ∈ F ) |ϕ(x + y)| ≤ C |x + F |, da cui la continuità di E/F → G. Dunque, per il corollario G.2, se ϕ è surgettiva allora la mappa E/F → G è un isomorfismo toplineare. Sia E uno spazio vettoriale ed F un sottospazio. La codimensione di F in E è, per definizione, la dimensione di E/F . Corollario G.5. Sia E uno spazio di Banach ed F un sottospazio chiuso di dimensione o codimensione finita. Allora F ammette un sottospazio complementare chiuso. Dimostrazione. Se F ha dimensione finita, il corollario è una conseguenza ovvia del teorema di Hahn-Banach. Assumiamo dunque che F abbia codimensione finita, e sia {y1, . . . , yn} una base di E/F . Siano x1, . . . , xn gli elementi di E applicati in y1, . . . , yn rispettivamente dall’applicazione naturale E → E/F . Indicato con G il sottospazio generato da x1, . . . , xn, G è di dimensione finita, dunque è chiuso, e F ∩ G = {0} mentre F + G = E. Possiamo quindi applicare il corollario G.3 e concludere la prova anche in questo caso. Proposizione G.6. Se F è un sottospazio chiuso di E di codimensione finita e G è un sottospazio di E tale che F ⊂ G ⊂ E, allora G è chiuso. Dimostrazione. L’immagine di G nello spazio quoziente E/F è contenuta in uno spazio vettoriale di dimensione finita, dunque è chiusa. Ne discende che G è esso stesso un sottospazio chiuso. Corollario G.7. Siano E, G spazi di Banach. Sia ϕ in L(E, G) tale che l’immagine ϕ(E) ⊂ G sia di codimensione finita. Allora ϕ(E) è chiusa. Dimostrazione. Come nel corollario G.5, possiamo trovare un sottospazio di dimensione finita F di G tale che G = ϕ(E) + F . Sicuramente quest’ultima è una somma diretta algebrica, non ancora topologica. Fattorizzando il nucleo di ϕ, possiamo assumere senza ledere la generalità che ϕ sia iniettivo. Componiamo ϕ con la mappa naturale G → G/F . Allora la composizione E ϕ −→ G ψ −→ G/F è una mappa lineare bigettiva e continua di E su G/F , quindi è un isomorfismo toplineare in virtù del corollario G.2. Segue che la mappa inversa (ψ ◦ ϕ) −1 è continua, dunque è continua la mappa ϕ ◦ (ψ ◦ ϕ) −1 che applica G/F su ϕ(E). Quindi ϕ(E) è toplinear isomorfo a G/F . Poiché G/F è completo, segue che ϕ(E) è completo, e quindi ϕ(E) è chiuso in G, come volevasi dimostrare. Definizione G.8. Sia X uno spazio normato. Diremo che una successione (xn) di X converge debolmente a x in X se ∀ φ ∈ X ∗ φ(xn) → φ(x). In tal caso scriveremo xn ⇀ x. IMMERSIONI APERTE IN DIMENSIONE INFINITA
G.1 Richiami di analisi lineare negli spazi di Banach 115 Proposizione G.9. xn ⇀ x =⇒ |x| lim inf n→+∞ |xn |. Dimostrazione. Ricordiamo che il limite inferiore di una successione (sn) di numeri reali, lim inf n→+∞ sn = lim n→+∞ inf kn sk = sup n∈N inf kn sn, è il minimo limite di tutte le sottosuccessioni convergenti di (sn). Sia dunque (xni ) una sottosuccessione di (xn) tale che |xni | −−−−→ i→+∞ lim inf n→+∞ |xn |. In particolare, per ogni ε > 0, i termini della successione (xni ) appartengono definitivamente alla palla chiusa centrata in 0 ed avente raggio ε + lim inf |xn |. Siccome la palla chiusa è anche debolmente sequenzialmente chiusa (si ricordi che, come conseguenza del teorema di Mazur, ogni insieme convesso chiuso è anche debolmente sequenzialmente chiuso), e siccome (xni) converge a x debolmente, abbiamo che x appartiene alla palla, i.e. |x| ≤ ε + lim inf n→+∞ |xn |. Per l’arbitrarietà con cui si è scelto ε ∈ R + si conclude che |x| ≤ lim inf n→+∞ |xn |. Definizione G.10 (Base di Schauder). Sia V uno spazio vettoriale topologico di dimensione infinita, i.e., uno spazio vettoriale reale di dimensione infinita con una topologia di Hausdorff in cui l’addizione vettoriale e la moltiplicazione scalare siano congiuntamente continue. Una base di Schauder per V è una successione (xi) i∈N + di elementi di V tale che per ogni v in V esiste un’unica successione di scalari (ai) per cui v = +∞ (la convergenza essendo rispetto i=1 ai xi alla topologia di V ) tale che, per ogni i, la funzione fi definita da fi (v) = ai è continua. Definizione G.11. Sia E uno spazio di Banach di dimensione infinita dotato di una base di Schauder B = (ei)i≥1. Diremo che B è monotona se, per ogni x in E, la mappa è una funzione non decrescente di n. n ∈ N + ↦→ |πn(x)| ∈ R + Proposizione G.12 ([Fa 01]). B è monotona se e solo se per ogni n in N + risulta |πn | 1. Proposizione G.13 ([Fa 01]). Sia E uno spazio di Banach di dimensione infinita, dotato di una base di Schauder B = (ei)i≥1. Allora E ammette una norma equivalente relativamente alla quale B è monotona. Proposizione G.14. Sia E uno spazio di Banach di dimensione infinita dotato di una base di Schauder B = (ei)i≥1 (per esempio si può considerare il caso in cui E = H sia uno spazio di Hilbert di dimensione infinita separabile) e (zn)n una successione di punti di E convergente a z0 in E. Sia π n : E → E n il proiettore canonico su E n := Span en+j : j ∈ N + . Allora π n (zn) −−−−−→ n→+∞ 0. RAUL TOZZI
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Università degli Studi di Pisa Fac
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Prefazione L’obiettivo principale
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S 1 , che certamente non ammette un
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Notazioni Notazioni di uso corrente
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xii INDICE C.2.2 Fibrati Hilbertian
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2 Fenomeni della dimensione infinit
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10 Fenomeni della dimensione infini
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Capitolo 2 Embedding aperti di vari
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2.1 Introduzione 21 (v) se F = {O}
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2.1 Introduzione 23 applicazione ξ
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2.2 Mappe di Fredholm di indice zer
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2.3 Filtrazioni di Fredholm 33 Nell
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2.6 Raffinamento delle tecniche lay
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2.6 Raffinamento delle tecniche lay
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2.7 Prova del teorema di embedding
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Appendice A Propedeuticità topolog
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